Ответ:

3/5

Пошаговое объяснение:

Вспомним формулы:

[tex] \boldsymbol{f'(g(x)) = f'(x) \cdot g'(x) } \\ \boldsymbol{( \sin x)' = \cos x} \\ \boldsymbol{( \tan x) ' = \frac{1 }{ \cos {}^{2} x} }[/tex]

_________________

[tex] \displaystyle\lim_{ x \rightarrow 0 } \left( \frac{ \sin 3x }{ \tan 5x } \right) = \displaystyle\lim_{ x \rightarrow 0 } \left( \frac{ \sin ( 3 \cdot0 ) }{ \tan ( 5 \cdot0 ) } \right) = \bigg[\frac{0}{0}\bigg][/tex]

Чтобы расскрыть данную неопределенность - воспользуемся правилом Лопиталя:

[tex] \boldsymbol{ \lim_{ x \rightarrow c } \bigg( \frac{f(x)}{g(x)} \bigg) = \lim_{ x \rightarrow c } \bigg( \frac{f'(x)}{g'(x)} \bigg) }[/tex]

То есть:

[tex] \displaystyle\lim_{ x \rightarrow 0 } \bigg( \frac{( \sin 3x)'}{ (\tan5x)' } \bigg) = \displaystyle\lim_{ x \rightarrow 0 } \bigg( \frac{( \sin 3x)' \cdot(3x) '}{ (\tan5x)' \cdot(5x)'} \bigg) = \displaystyle\lim_{ x \rightarrow 0 } \bigg( \frac{3 \cos3x}{ \frac{5}{ \cos {}^{2}5 x} } \bigg) = \displaystyle\lim_{ x \rightarrow 0 } \bigg( \frac{3 \cos(3 \cdot0)}{ \frac{5}{ \cos {}^{2} (5 \cdot0)} } \bigg) = \displaystyle\lim_{ x \rightarrow 0 } \bigg( \frac{3 \cdot1}{ 5 } \bigg) = \frac{3}{5} [/tex]