Verified answer

Ответ:

[tex]\boldsymbol{\boxed{ \lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x}}{x^{3} + e^{2x}} =1}}[/tex]

Примечание:

Правило Лопиталя:

Если [tex]\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \infty[/tex] и функции [tex]f(x),g(x)[/tex] таковы, что дифференцируемы в окрестности точки [tex]a[/tex] и в окрестности этой точки [tex]g'(x) \neq 0[/tex] и существует предел , то существует [tex]\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f'(x) }{g'(x)}[/tex].

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f(x) }{g(x)} = \bigg [ \frac{\infty}{\infty} \bigg] = \lim_{x \to a} \frac{ f'(x) }{g'(x)}} }[/tex], при условии, что функции [tex]f(x),g(x)[/tex]   соответствуют всем выше перечисленным условиям и соответствующие пределы существуют.

По таблице производных:

[tex]\boxed{(x^{n})' =nx^{n-1}}[/tex]

[tex]\boxed{(e^{x})' = e^{x}}[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x}}{x^{3} + e^{2x}} =\bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] = \lim_{x \to \infty} \frac{(e^{2x})'}{(x^{3} + e^{2x})'} = \lim_{x \to \infty} \frac{2e^{2x}}{3x^{2} + 2e^{2x}} = \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] =[/tex]

[tex]\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \frac{(2e^{2x})'}{(3x^{2} + 2e^{2x})'} = \lim_{x \to \infty} \frac{4e^{2x}}{6x + 4e^{2x}} = \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] =\lim_{x \to \infty} \frac{(4e^{2x})'}{(6x + 4e^{2x})'} =[/tex]

[tex]\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \frac{8e^{2x}}{6 + 8e^{2x}} = \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] = \lim_{x \to \infty} \frac{(8e^{2x})'}{(6 + 8e^{2x})'} = \lim_{x \to \infty} \frac{16e^{2x}}{16e^{2x}} = 1[/tex]