Ответ:   [tex]\bf cos\, 3a=\dfrac{44}{125}[/tex]

Задана функция половинного аргумента:   [tex]\bf ctg\dfrac{a}{2}=-\dfrac{1}{3}[/tex]  ,  Найти  [tex]\bf cos3a[/tex]  

Известна формула косинуса тройного угла :

  [tex]\bf cos3a=4\, cos^3a-3\, cosa[/tex]  

Найдём  [tex]\bf cosa[/tex]  через тангенс половинного аргумента.

Так как  [tex]\bf tga= \dfrac{1}{ctga}[/tex]   ,  то   [tex]\bf tg\dfrac{a}{2}=\dfrac{1}{ctg\dfrac{a}{2}}=\dfrac{1}{-\frac{1}{3}} =-3[/tex]   .

[tex]\bf cosa=\dfrac{1-tg^2\dfrac{a}{2}}{1+tg^2\dfrac{a}{2}}=\dfrac{1-(-3)^2}{1+(-3)^2}=\dfrac{1-9}{1+9}=\dfrac{-8}{10}=-\dfrac{4}{5}[/tex]  

[tex]\bf cos\, 3a=4\cdot \Big(- \dfrac{4}{5}\Big)^3-3\cdot \Big(-\dfrac{4}{5}\Big)=-\dfrac{256}{125}+\dfrac{12}{5}=\dfrac{-256+300}{125}=\dfrac{44}{125}[/tex]