Ответ:

1)  Арифметическая прогрессия :  

  [tex]\bf a_3-a_1=8\ \ ,\ \ a_2+a_4=14\ \ ,\ \ S_{n}=104[/tex]  

Формула  n-го члена арифм. прогрессии :  [tex]\bf a_{n}=a_1+d\cdot (n-1)[/tex]  .

[tex]\bf a_3-a_1=(a_1+2d)-a_1=2d\ \ \to \ \ \ 2d=8\ \ ,\ \ \underline{\bf d=4}\\\\a_2+a_4=(a_1+d)+(a_1+3d)=2a_1+4d\ \ \to \ \ \ 2a_1+4d=14\ \ \to \\\\a_1+2d=7\ \ ,\ \ a_1+8=7\ \ ,\ \ \underline{\bf a_1=-1}[/tex]  

Формула суммы первых n членов арифм. прогрессии :  

[tex]\bf S_{n}=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n[/tex]    

[tex]\bf S_{n}=\dfrac{-2+4(n-1)}{2}\cdot n=104\ \ \to \ \ \ \Big(-1+2(n-1)\Big)\cdot n=104\\\\(-3+2n)\cdot n=104\ \ ,\ \ \ 2n^2-3n-104=0\ \ ,\\\\D=b^2-4ac=3^2+4\cdot 2\cdot 104=841=29^2\ \ ,\\\\n_1=\dfrac{3+29}{4}=8\in N\ \ ,\ \ n_2=\dfrac{3-29}{4}=-6,5\notin N[/tex]  

Из полученных корней уравнения  значение номера  n= -6,5  не подходит, так как не является натуральным  числом .

Ответ:  число членов арифм. прогресси равно  8 .

2)  Цилиндр :  R=4 см , H=12 см .

Боковая поверхность цилиндра вычисляется по формуле  

[tex]\bf S_{bok.}=2\, \pi R\, H=2\, \pi \cdot 4\cdot 12=96\, \pi[/tex]  (см²)  .

Площадь двух оснований цилиндра равна  

[tex]\bf 2\cdot S_{osn.}=2\cdot \pi R^2=2\cdot \pi \cdot 4^2=32\, \pi[/tex]   (см²)  .

Когда цилиндр пересекли плоскостью, параллельной основаниям, то образовалось 2 цилиндра с такими же основаниями, как и у исходного цилиндра, и суммарной боковой поверхностью, равной боковой поверхности заданного цилиндра .

То есть суммарная площадь полных поверхностей полученных двух цилиндров будет больше полной поверхности исходного цилиндра на площадь двух оснований .

[tex]\bf S=S_{bok.}+4\cdot S_{osn.}=96\, \pi +2\cdot 32\, \pi =160\, \pi[/tex]   (см²)  .  -2-y;-z)

3)   [tex]\bf \overline{AB}(-3;8;1)\ \ ,\ \ B(7;-2;0)\ \ ,\ \ A(x;y;z)[/tex]  

Найдём координаты вектора АВ по координатам концов вектора .

[tex]\bf \overline{AB}\, (7-x\, ;-2-y\, ;0-z)[/tex]  

Приравняем заданные координаты вектора АВ и найденные координаты этого вектора .

[tex]\bf 7-x=-3\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=10\\\\-2-y=8\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y=-10\\\\-z=1\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ z=-1\\\\{}\ \ \ A(\, 10\, ;-10\, ;-1\, )[/tex]    

Ордината точки А равна  -10  .