1.

[tex]y = (3x + 5)(2 {x}^{2} - 1) \\ y' = (3x + 5)'(2 {x}^{2} - 1) + (2 {x}^{2} - 1)'(3x + 5) = \\ = 3(2 {x}^{2} - 1) + 4x(3x + 5) = 6 {x}^{2} - 3 + 12 {x}^{2} + 20x = \\ = 18 {x}^{2} + 20x - 3[/tex]

Ответ: 18х² + 20х - 3

2.

[tex]f(x) = x \sqrt{x} = {x \times x}^{ \frac{1}{2} } = {x}^{1 + \frac{1}{2} } = {x}^{ \frac{3}{2} } \\ f'(x) = \frac{3}{2} {x}^{ \frac{3}{2} - 1} = 1.5 {x}^{ \frac{1}{2} } = 1.5 \sqrt{x} \\ x_{o} = 81 \\ f'(81) = 1.5 \sqrt{81} = 1.5 \times 9 = 13.5[/tex]

Ответ: 13,5

3.

[tex]f(x) = {x}^{2} +3 x[/tex]

Уравнение касательной:

[tex]\displaystyle\bf y = f'(x_{o})(x - x_{o}) + f(x_{o})[/tex]

1) Вычислим значение функции в точке касания:

[tex]f( - 1) = ( - 1) {}^{2} + 3 \times ( - 1) = 1 - 3 = - 2[/tex]

2) Найдём производную функции:

[tex]f'(x) = 2x + 3[/tex]

3) Вычислим значение производной функции в точке касания:

[tex]f'( - 1) = 2 \times ( - 1) + 3 = - 2 + 3 = 1[/tex]

4) Подставим все значения в уравнение касательной:

[tex]y = 1 \times (x - ( - 1)) + ( - 2) = x + 1 - 2 = x - 1[/tex]

Ответ: 1)