Если правильно понимаю, "сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра".
Уравнение может обращаться в 0 когда значение в скобках или значение под корнем обращается в 0.

Область определения функции  [tex]x + 1 > 0 \cap x \geq a[/tex]

Выражение в скобках обращается в нуль при

[tex]\log_2(x+1) - 3 = 0\\x + 1 = 2^3\\x = 7[/tex]

Выражение под корнем обращается в нуль, очевидно, при [tex]x = a[/tex]

При [tex]a \leq -1[/tex] уравнение будет иметь 1 корень, т.к. [tex]x =a[/tex] невозможно ввиду ОДЗ.

При [tex]a \geq 7[/tex] уравнение также имеет один корень, т.к. при [tex]a = 7[/tex] корни совпадают и при [tex]a > 7[/tex] выражение в скобках не может обратиться в 0 ввиду ОДЗ.

И при [tex]-1 < a < 7[/tex] имеет два корня, т.к. оба попадают в ОДЗ и не совпадают.