Verified answer

Ответ:

Исследовать функцию y = x⁴ -2x³ -3    и  построить  ее  график

( Если можно то еще найти экстремумы функции очень нужно )

Объяснение:  y(x) = x⁴ -2x³ - 3        

1. OOФ :   x ∈ R       ||  x∈ ( - ∞ ; ∞ )      

2. Функция не четная , не нечетная , не периодическая

3.   Пересечения с осями координат

С осью абсцисс :  y =  0  ;  x⁴- 2x³- 3 =0   целое решение  x = - 1

(x+1)(x³ - 3x² +3x -3) = 0         A( - 1 ; 0)        

x³ - 3x² +3x - 3 =0 не имеет целое решение , c помощью графики  найдем еще одно x ≈ 2,26 ( остальные 2 мнимые)

С осью ординат:  x =  0  ;    y  =  - 3         B ( 0 ; - 3)

4. Определим области возрастания и  убывания  функции

y'(x) = (x⁴ -2x³ -3 ) '  = 4x³ -  6x²     =  4x²(x -3/2 )

Стационарные  точки : y '(x) =0 ⇔ 4x²(x -3/2) =0  ⇒ [x =0 ;  x =3/2

y'(x)   ( - ∞ ) - - - - - - - [0] - - - - - - -  [3/2] + + + + + + + +

 y(x)                    ↓                    ↓      min          ↑

Стационарная точка  x = 0 не является точкой  экстремума , поскольку при переходе через эту точку  производная функции не  меняет свой знак .

При переходе через стационарную точку  x = 3/2   производная функции меняет знак, с «минуса» на «плюс», значит эта точка  является точкой минимума

функция убывает       при     x ∈  ( -∞ ; 3/2 ]  

функция возрастает при     x∈ [3/2 ;  ∞ )    

Минимальное значение  y(3/2) =(3/2)⁴- 2*(3/2)³- 3 =81 /16 - 27/4 - 3=

(81 -108 -48) /16 =-75/16 = - 4,6875            N ( 1,5 ; - 4,6875)

5.  Определим  точки перегибов ( из  y'' = 0 ) :    

у' ' (x) = ( y'(x) ) ' = (4x³ - 6x²) ' = 12x²-12x =12x(x-1)  

у' ' (x) =0  ⇔  12x(x-1)  =0  ⇔ [ x = 0 ; x=1  .  точки перегиба

у' ' (x)   + + + + + + + [0] - - - - - - [1] + + + + + + + +

График функции   вогнутая,  если  x ∈   (-∞ ; 0)  и   x ∈   ( 1 ; ∞ )    

График функции   выпуклая , если  x ∈   ( 0; 1 ) .