1.Если многоугольник произвольный, то из одной вершины проведите все

диагонали и найдите площадь каждого получившегося треугольника.

Результаты сложите. Если многоугольник правильный, то существуют формулы

для каждого отдельного случая. Но можно вывести и общую формулу, зависящую от количества сторон.

2.I. Равные многоугольники имеют равные площади. II. Если многоугольник

составлен из двух многоугольников, не имеющих внутренних общих точек, то

его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. III.Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна 1 (единице измерения площадей)  

3.Равновеликие имеют равную площадь, равносоставленные фигуры — фигуры,

которые можно разрезать на одинаковое число соответственно равных частей

4.

Площадь прямоугольника равна произведению одной его стороны на другую(ширины на длину).

Докозательство.

Достраиваемпрямоугольник до квадрата.

Sквадрата = (а+b)в квадрате

Sквадрата= 2S+ а в квадрате + b в квадрате

2ab=2S(сокращаем)

и получаем то что S=ab

5.Sabcd=a*h ( Площадь паралелограмма равна произведению его основания на высоту)

Если BF и CM — перпендикуляры к прямой AD, то треугольник ABF=треугольнику DCE

(так как AB=DC и проекция AF=DM). Поэтому площади этих треугольников

равны. Площадь паралеллограмма ABCD равна сумме двух фигур: треугольника

ABF (равного треугольникуDCM) и трапеции FBCD. Значит, если от площади

ABCD вычесть площадь треугольника ABF, получим площадь трапеции FBCD.

Тогда площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника FBCM. А

стороны этого прямоугольника равны BC=AD=а и BF=h.

S ABCD = AD•BF=a•h.

6.Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

Док-во:

Пусть

дан прямоугольный треугольник с катетами х и у, достроим его до

прямоугольника со сторонами х и у и найдем площадь этого прямоугольника.

Она равна ху. Так как диагональ прямоугольника (это гипотенуза нашего

треугольника) делит прямогольник пополам, то площадь нашего треугольника

равна половине площади прямоугольника, т. е. ху/2. Доказано.

7.Если

угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение

площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон,

заключающих равные углы.

8.Площадь трапеции равна произведению полусумме  ее оснований на высоту.

9.В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с.

Составим из четырех таких треугольников квадрат со стороной а + b как на рисунке.

Внутри получим квадрат со стороной с.

Площадь большого квадрата равна сумме площадей составляющих его фигур:

S = 4·S? + c? = 4 · ab/2 + c?

или

S = (a + b)?

Приравняем правые части:

2ab + c? = (a + b)?

2ab + c? = a? + b? + 2ab

c? = a? + b?

Что и требовалось доказать.

10.Теорема.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство.

Пусть

треугольнике АВС АВ^2=АС^2+ВС^2. Докажем, что угол С прямой. Рассмотрим

прямоугольнй треугольник А1В1С1 с прямым углом С1, у которого А1С1=АС и

В1С1=ВС. По теореме Пифагора А1В1^2=А1С1^2+В1С1^2, и, значит,

А1В1^2=АС^2+ВС^2. Но АС^2+ВС^2=АВ^2, откуда А1В1=АВ

Треугольники АВС и

А1В1С1 равны по трем сторонам, поэтому <С=<С1, т. е. треугольник

АВС прямоугольный с прямым углом С. Теорема доказана  

11.Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами называются пифагоровыми.

12.Формула Герона выражает площадь треугольника через длины трех его сторон.  

Теорема (формула Герона). Площадь треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром p равна выражению:  

s= корень p(p-a)(p-b)(p-c)  

Доказательство. Пусть O — центр вписанной в треугольник ABC окружности, r — ее радиус  

Соединив центр O с вершинами A, B и C, получим треугольники AOC, BOC и AOB с высотами, равными r.  

Согласно свойству площадей:  

пл. треугольника ABC=пл. треугольника AOC+пл. треугольника AOB+пл. треугольника BOC=  

= 1/2 b. r+1/2 c. r+1/2 a. r=r/2 (a+b+c)=p. r.  

Выражая r через стороны треугольника a, b и с,  

что и требовалось доказать.