Verified answer

Ответ:

1 кв.ед.

Пошаговое объяснение:

1) у = 2х - х²  ---- парабола ветвями вних, т.к. коэффициент при х² отрицательный.   Точка (1;1) - вершина этой параболы  ( т.к. у' = 2 - 2х;⇒ 2-2х = 0; х=1;  у₍₁₎ = 2*1 -1² = 1)

точки пересечения с осью абсцисс ( заданная прямая у = 0 с ней совпадает) 0 и 2

(2х - х² = 0; х(2-х) = 0; х₁ = 0; х₂= 2)

    Площадь фигуры, заключенной между этой параболой и  осью абсцисс найдем с помощью определенного интеграла от 0 до 2

S₁ = ₀∫² (2x - x²)dx = ₀|² х² - х³/3 = 2² - 2³/3 = 4 - 8/3 = 4/3 = 1  1/3

2) у = х² ---- парабола, с осями вверх, с вершиной в начале координат. Она с прямой у = 0 имеет только одну общую точку, а с параболу у = 2х - х² пересекает в двух:

2х - х² = х²;  2х - х² = 0;  2х - 2х² = 0; х(1 - х) = 0; х₁ = 0; х₂ = 1

у₍₀₎ = 0;  у₍₁₎ = 2*1 - 1² = 1

   Параболы образуют замкнутую область, заключенную между точками (0;0) и (1;1) пересечения их ветвей. Ее площадь также можно найти с помощью определенного интеграла в пределах интегрирования от 0 до 1.

S₂ = ₀∫¹(2x - x² - x²)dx = ₀∫¹(2x - 2x²)dx = ₀|¹ х² - 2х³/3 = 1² - 2*1³/3 = 1 - 2/3 = 1/3

3) Площадь фигуры, ограниченной всеми тремя линиями (у = х²; у = 2х - х² и у - 0) будет разностью двух найденных выше площадей.

S = S₁ - S₂ = 1  1/3 - 1/3 = 1 (квадратная)

Ответ:  1 кв.ед.