100 балов — доказать делимость на 101.Ответ нужно обосновать. . Created by AlekseyPrj. matematika-ru

100 балов — доказать делимость на 101.Ответ нужно обосновать. ...

AlekseyPrj @AlekseyPrj

July 2022 1 38 Report

100 балов — доказать делимость на 101.
Ответ нужно обосновать.

Answers & Comments

Olga8128

Verified answer

$\displaystyle 2019^{2018}-1=(1919+100)^{2018}-1$

Дальше раскладываем по биному Ньютона:

$(1919+100)^{2018}-1=C_{2018}^0\cdot1919^{2018}\cdot100^0 \;+ \;C_{2018}^1\cdot1919^{2017}\cdot100^1\;+...\\\\...\;+C^ {2017}_{2018}\cdot1919^1\cdot 100^{2017}\;+\;C_{2018}^{2018}\cdot1919^0\cdot100^{2018}-1$

Видно, что все слагаемые, кроме двух последних, делятся на 1919, и, как следствие, на 101. Если $\displaystyle C_n^n\cdot1919^0\cdot100^n\;+\;1=100^n\;+\;1$ делится на 101, то задача будет решена.

Опять воспользуемся биномом Ньютона:

$\displaystyle 100^{2018}\;-\;1=(101-1)^{2018} -1=C_{2018}^0\cdot101^{2018}\cdot1^0\;-\;...\;+\;C^{2018} _{2018}\cdot101^0\cdot1^{2018}\;-\;1$

Итак, только два последних числа могут не делиться на 101, но:

$\displaystyle C^{2018} _{2018}\cdot101^0\cdot1^{2018}-1=1^{2018}-1=1-1=0$

Ноль нацело делится на 101.

⇒ $\displaystyle 2019^{2018}-1$ тоже делится 101, что и требовалось доказать.

4 votes Thanks 4

Olga8128 Да, действительно ... https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2017-18/region/math/ans-math-10-day1-reg-17-8.pdf

Olga8128 дес

Olga8128 Ой, извините, я имела ввиду "

AlekseyPrj Хорошо

Olga8128 "Здесь" все понятно объяснено, без Коши ...

Olga8128 А зачем тогда все-таки вопрос задавать?

AlekseyPrj Я уже видел, но всё равно спасибо. Там то, что нужно доказать возвели в куб.

Olga8128 Да. Потом x^5-y^5>=2x; x^5-2x>=y^5 и дальше домножаем на восемь. Я в очередной раз восхищаюсь красотой математики)) Большое спасибо; очень интересная задача

AlekseyPrj Ну да, там таких полно

AlekseyPrj в олимпиадах

dlya chego v glagolah v forme povelitelnogo nakloneniya mozhet ispolzovatsya chastifea42aff8355529e2e1615ea7e4dad12 38287

Answer

Answers & Comments

Verified answer

dlya chego v glagolah v forme povelitelnogo nakloneniya mozhet ispolzovatsya chastifea42aff8355529e2e1615ea7e4dad12 38287

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social