Verified answer

Вывод формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Первый способ.

Необходимо найти сумму первых n членов геометрической прогрессии:

[tex]S_n=b_1+b_2+b_3+\ldots+b_{n-1}+b_n[/tex]

Умножим левую и правую части равенства на [tex]q\neq 0[/tex]:

[tex]S_nq=b_1q+b_2q+b_3q+\ldots+b_{n-1}q+b_nq[/tex]

Поскольку произведение предыдущего члена на знаменатель прогрессии дает последующий член, то упростим все слагаемые в правой части, кроме последнего:

[tex]S_nq=b_2+b_3+b_4+\ldots+b_n+b_nq[/tex]

Теперь из полученного соотношение вычтем исходное:

[tex]S_nq-S_n=(b_2+b_3+b_4+\ldots+b_n+b_nq)-(b_1+b_2+b_3+\ldots+b_{n-1}+b_n)[/tex]

Слагаемые, начиная с [tex]b_2[/tex] и заканчивая [tex]b_n[/tex], присутствуют в двух скобках в правой части, поэтому после раскрытия скобок эти слагаемые взаимно уничтожатся:

[tex]S_nq-S_n=b_2+b_3+b_4+\ldots+b_n+b_nq-b_1-b_2-b_3-\ldots-b_{n-1}-b_n[/tex]

[tex]S_nq-S_n=b_nq-b_1[/tex]

Распишем n-ый член прогрессии по соответствующей формуле (на картинке справа):

[tex]S_nq-S_n=b_1q^{n-1}q-b_1[/tex]

[tex]S_nq-S_n=b_1q^n-b_1[/tex]

Остается вынести общие множители за скобки в обеих частях соотношения и выразить сумму:

[tex]S_n(q-1)=b_1(q^n-1)[/tex]

[tex]\boxed{S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1} }[/tex]

Второй способ.

Необходимо найти сумму первых n членов геометрической прогрессии:

[tex]S_n=b_1+b_2+b_3+\ldots+b_{n-1}+b_n[/tex]

Используя формулу n-ого члена геометрической прогрессии (которая записана на картинке справа), можно записать:

[tex]S_n=b_1+b_1q+b_1q^2+\ldots+b_1q^{n-2}+b_1q^{n-1}[/tex]

Естественно, первый член можно вынести за скобки:

[tex]\boxed{S_n=b_1(1+q+q^2+\ldots+q^{n-2}+q^{n-1})}[/tex]

Данная формула зависит только от двух параметров: первого члена и знаменателя прогрессии, однако в силу неудобства выражения, записанного в скобках, ею практически никто и никогда не пользуется.

Чтобы упростить выражение, записанное в скобках, вспомним формулу, являющуюся обобщением формулы разности квадратов, разности кубов, и т.д:

[tex]x^k-y^k=(x-y)(x^{k-1}+x^{k-2}y+\ldots+xy^{k-2}+y^{k-1}),\ k\in\mathbb{N}[/tex]

В частности, при [tex]y=1[/tex], получим:

[tex]x^k-1=(x-1)(x^{k-1}+x^{k-2}+\ldots+x+1)[/tex]

Тогда, выразив большую скобку из правой части получим:

[tex]x^{k-1}+x^{k-2}+\ldots+x+1=\dfrac{x^k-1}{x-1}[/tex]

В стандартных обозначениях для геометрической прогрессии это выражение перепишется в виде:

[tex]q^{n-1}+q^{n-2}+\ldots+q+1=\dfrac{q^n-1}{q-1}[/tex]

А сама формула примет вид:

[tex]\boxed{S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1} }[/tex]