Ответ:

Поскольку треугольник АВС является равнобедренным, то высота ВН также является медианой и биссектрисой треугольника. Известно, что ВН делит сторону АС в отношении 1:3, поэтому BN:NC=1:3.

Так как луч АК является биссектрисой угла ВАС, он делит сторону ВС пропорционально отрезкам, на которые он делит прилегающие к этой стороне углы. Поэтому, нужно найти отношение длин отрезков ВК и КС.

Заметим, что треугольник АВН подобен треугольнику ВСН, так как они имеют два одинаковых угла при вершине В. Поэтому, отношение сторон ВН и НА в равнобедренном треугольнике АВС равно отношению соответствующих сторон треугольника ВСН, то есть:

BN : NA = VN : NS

Заменим здесь НА на ВС - СА, так как треугольник АВС равнобедренный, и получим:

BN : (BC - CN) = VN : NS

Подставляя BN/NC = 1/3 и VN/NS = 1/2 (так как ВН является медианой), получаем:

1/3 : 2/3 = VK/KS

Упрощая, получим:

VK/KS = 1/2

Таким образом, луч АК делит сторону ВС в отношении 1:2.