Дано:

∠ABC=105°;

BD⊥AC; BD=7;

∠BAC=45°

Найти: большую сторону треугольника ABC

Решение:

В треугольнике большая сторона лежит против большего угла. Так как тупой угол в треугольнике является наибольшим, то большая сторона треугольника лежит против угла ABC. Таким образом, нужно найти сторону АС.

Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, найдем угол ∠ACB:

[tex]\mathrm{\angle ACB=180^\circ-\angle ABC-\angle BAC}[/tex]

[tex]\mathrm{\angle ACB=180^\circ-105^\circ-45^\circ=30^\circ}[/tex]

Рассмотрим треугольник BCD. Так как BD - высота, то треугольник BCD прямоугольный. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы:

[tex]\mathrm{BD=\dfrac{1}{2}\, BC}[/tex]

[tex]\mathrm{BC=2\,BD}[/tex]

[tex]\mathrm{BC=2\cdot7=14}[/tex]

Далее, используя теорему Пифагора, определим сторону DC:

[tex]\mathrm{BD^2+DC^2=BC^2}[/tex]

[tex]\mathrm{DC=\sqrt{BC^2-BD^2} }[/tex]

[tex]\mathrm{DC=\sqrt{14^2-7^2} =\sqrt{147}=7\sqrt{3} }[/tex]

Рассмотрим треугольник ABD. Он также является прямоугольным. Кроме того, так как угол BAD равен 45°, то и угол ABD также равен 45°. Значит, этот треугольник равнобедренный. Тогда:

[tex]\mathrm{AD=BD}[/tex]

[tex]\mathrm{AD=7}[/tex]

Найдем требуемую длину как сумму длин двух отрезков:

[tex]\mathrm{AC=AD+DC}[/tex]

[tex]\mathrm{AC=7+7\sqrt{3} }[/tex]

Ответ: [tex]7+7\sqrt{3}[/tex]