Ответ: x⁴ -3x³ -3x² +11x-6 = (x-1)²(x+2)(x-3)

Объяснение: попробуем узнать корни многочлена P(x) равного нулю.

[tex]x^{4} -3x^{3} -3x^{2} +11x-6=0[/tex]

Его свободный член равен по модулю равен 6. Запишем его делители:

D(6) = {1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6}.

Подставим каждое число вместо икса и узнаем не равняется ли многочлен P(x) нулю:

[tex]1-3-3+11-6=1+11-6-6=12-12=0[/tex]

[tex]1+3-3-11-6=1-17=-16[/tex]

[tex]2^{4} -3*2^{3} -3*2^{2} +11*2-6=16-24-12+22-6=38-42=-4[/tex]

[tex](-2)^{4} -3*(-2)^{3} -3*(-2)^{2} +11*(-2)-6=16+24-12-22-6=28-28=0[/tex]

[tex]3^{4} -3*3^{3} -3*3^{2} +11*3-6=81-81-27+33-6=-27+27=0[/tex]

[tex](-3)^{4} -3*(-3)^{3} -3*(-3)^{2} +11*(-3)-6=81+81-27-33-6=162-66=96[/tex]

[tex]6^{4} -3*6^{3} -3*6^{2} +11*6-6=1296-648-108+66-6=600[/tex]

[tex](-6)^{4} -3*(-6)^{3} -3*(-6)^{2} +11*(-6)-6=1296+648-108-66-6=1764[/tex]

Как выяснили, многочлен P(x) равняются нулю при значений икса равных 1, -2 и 3.

Воспользуемся схемой Горнера.

1. Делим многочлен P(x) на х - а, где а = 1. Запишем коэффициенты многочлена и найдем коэффициенты другого многочлена с пониженной степенью:

[tex]\left\begin{array}{cccccc}&1&-3&-3&11&-6\\1&1&1*1-3=-2&1*(-2)-3=-5&1*(-5)+11=6&1*6-6=0\end{array}\right[/tex]

Получили коэффициенты 1, -2, -5, 6, 0. В результате

[tex]P(x)=x^{4} -3x^{3} -3x^{2} +11x-6=(x-1)(x^{3} -2x^{2} -5x+6)[/tex]

2. Запишем коэффициенты нового многочлена и, разделив его на х - а, где а = -2, найдем следующий многочлен с пониженной степенью:

[tex]\left\begin{array}{ccccc}&1&-2&-5&6\\-2&1&(-2)*1-2=-4&(-2)*(-4)-5=3&(-2)*3+6=0\end{array}\right[/tex]

Получили коэффициенты 1, -4, 3 и 0. В результате

[tex]P(x)=(x-1)(x^{3} -2x^{2} -5x+6)=(x-1)(x+2)(x^{2} -4x +3)[/tex]

3. Снова повторим предыдущие этапы. На этот раз полученный многочлен делим на х - а, где а = 3:

[tex]\left\begin{array}{ccccc}&1&-4&3\\3&1&3*1-4=-1&3*(-1)+3=0\end{array}\right[/tex]

Преобразуем наш многочлен P(x):

[tex]P(x)=(x-1)(x+2)(x^{2} -4x +3)=(x-1)(x+2)(x-3)(x-1)=[/tex]

[tex]=(x-1)^{2} (x+2)(x-3)[/tex]

Результат разложения многочлена P(x):

[tex]P(x)=x^{4} -3x^{3} -3x^{2} +11x-6=(x-1)^{2} (x+2)(x-3)[/tex]