Ответ:

Вычисляем площадь области как разность площадей криволинейных трапеций .

[tex]\bf 1)\ \ y=2x^2\ ,\ y=x+1[/tex]

Точки пересечения :  [tex]\bf 2x^2=x+1\ \ ,\ \ 2x^2-x-1=0\ \ ,\ \ x_1=1\ ,\ x_2=-\dfrac{1}{2}[/tex]

[tex]\bf \displaystyle S=\int\limits_{-1/2}^1\, (x+1-2x^2)\, dx=\Big(\frac{x^2}{2}+x-\frac{2x^3}{3}\Big)\Big|_{-1/2}^1=\\\\\\=\frac{1}{2}+1-\frac{2}{3}-\Big(\frac{1}{8}-\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\Big)=2-\frac{2}{3}-\frac{1}{8}-\frac{1}{12}=2-\frac{21}{24}=\frac{27}{24}=\frac{9}{8}[/tex]  

[tex]\bf 2)\ \ y=x^2\ ,\ \ y=8-x^2[/tex]

Точки пересечения:

[tex]\bf x^2=8-x^2\ \ ,\ \ 2x^2=8\ \ ,\ \ x^2=4\ \ ,\ \ x=\pm 2[/tex]  

[tex]\displaystyle \bf S=\int\limits^2_{-2}\, (8-x^2-x^2)\, dx=\int\limits^2_{-2}\, (8-2x^2)\, dx=2\int\limits^2_{0}\, (8-2x^2)\, dx=\\\\\\=2\cdot \Big(8x-\frac{2x^3}{3}\Big)\Big|_{0}^2=2\cdot \Big(16-\frac{16}{3}\Big)=2\cdot \frac{32}{3}=\frac{64}{3}[/tex]  

[tex]\bf 3)\ \ y=x^2-3x\ \ ,\ \ y=4\ ,\ \ x\geq 0[/tex]  

Точки пересечения:  

[tex]\bf x^2-3x=4\ ,\ \ x^2-3x-4=0\ ,\ x_1=-1\ ,\ x_2=4\ \ (x\geq 0)[/tex]

[tex]\displaystyle \bf S=\int\limits^4_{0}\, (4-x^2+3x)\, dx=\Big(4x-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\Big)\Big|_{0}^4=16-\frac{64}{3}+24=\frac{56}{3}[/tex]