Ответ:

У правильной пирамиды основанием является правильный многоугольник.

Объем пирамиды: [tex] V= \frac{1}{3} S_{осн} H [/tex]

а) у правильной четырехугольной пирамиды основание квадрат.

[tex] S_{осн}={a}^{2} [/tex]

Надо найти высоту пирамиды H.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, в треугольнике, состоящей из радиуса описанной окружности около основания, высоты и бокового ребра. (На рисунке ΔSOB)

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника:

[tex]R = \frac{a}{2 \sin( \frac{\pi}{n} ) } [/tex]

[tex]R = \frac{a}{2 \times \sin( \frac{\pi }{4} ) } = \frac{a}{2 \times \frac{ \sqrt{2} }{2} } = \frac{a}{ \sqrt{2} } [/tex]

Боковое ребро a, по условию.

H²=a²-R²

[tex] {H}^{2} = {a}^{2} - {( \frac{a}{ \sqrt{2} }) }^{2} \\ {H}^{2} = {a}^{2} - \frac{ {a}^{2} }{2} \\ {H}^{2} = \frac{2 {a}^{2} - {a}^{2} }{2} \\ {H}^{2} = \frac{ {a}^{2} }{2} \\ H = \sqrt{ \frac{ {a}^{2} }{2} } \\ H = \frac{a}{ \sqrt{2} } [/tex]

И теперь объем:

[tex]V = \frac{1}{3} \times {a}^{2} \times \frac{a}{ \sqrt{2} } = \frac{ {a}^{3} }{3 \sqrt{2} } = \frac{ {a}^{3} \sqrt{2} }{6} [/tex]

б) тоже можно решить также:

[tex]S_{осн} = \frac{ {a}^{2} \sqrt{3} }{4} [/tex]

[tex]R = \frac{a}{2 \sin( \frac{\pi}{3} ) } = \frac{a}{2 \times \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \frac{a}{ \sqrt{3} } [/tex]

[tex] {H}^{2} = {a}^{2} - {( \frac{a}{ \sqrt{3} } )}^{2} \\ {H}^{2} = {a}^{2} - \frac{ {a}^{2} }{3} \\ {H}^{2} = \frac{3 {a}^{2} - {a}^{2} }{3} \\ {H}^{2} = \frac{2 {a}^{2} }{3} \\ H = \sqrt{ \frac{2{a}^{2} }{3} } \\ H = \frac{a \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } [/tex]

[tex]V = \frac{1}{3} \times \frac{ {a }^{2} \sqrt{3} }{4} \times \frac{a \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } \\ V = \frac{ {a}^{3} \sqrt{2} }{12}[/tex]