Ответ: 6cos400° - 8cos³40 = 1

Объяснение:

Вычислите :

6cos400° - 8cos³40

I способ

Формула для тройного угла :

[tex]\boxed{\cos 3a = 4 \cos ^3 a - 3\cos a}[/tex]

[tex]6\cos 400 - 8 \cos ^3 40 = 6 \cos (360+40) - 8 \cos ^3 40 =\\\\= 6 \cos 40 - 8 \cos^340 = 2 (3\cos40- 4\cos ^3 40 ) = - 2(4\cos ^ 340 - 3\cos 40 )=\\\\= -2 \cos (120) = -2\cos(90+30) = -2\cdot ( -\sin30) = -\dfrac{1}{2}\cdot (-2)= 1[/tex]

II способ

Если же , не знать о формуле для тройного угла , то решение будет следующим

Для упрощения будем применять формулы :

[tex]\boldsymbol{\sin 2a = 2\sin a\cdot \cos a} \\\\\boldsymbol{ \cos 2a = \cos^2a -\sin ^2a } \\\\ \boldsymbol{ \sin^2 a+ \cos ^2a = 1 \Rightarrow \sin^2a = 1- \cos^2a}[/tex]

[tex]6\cos 400 - 8 \cos ^3 40 = 6 \cos (360+40) - 8 \cos ^3 40 =\\\\= 6 \cos 40 - 8 \cos^340 = 2 \cos 40(3-4 \cos^240 ) = \\\\=2 \cos 40 (\underbrace{3 - 3\cos^240}_{3\sin^240} - \cos^240) = 2 \cos 40 (2 \sin^240+\sin^240 - \cos^240) = \\\\=2\cos40(2\sin^240 - (\underbrace{\cos^240 - \sin^240}_{\cos 80})) = 2 \cos 40 (2\sin ^2 40 - \cos 80 ) = \\\\ = 2 (\cos 40 \cdot 2 \sin ^240 - \cos 80 \cos 40 ) = \\\\= 2 (\underbrace{2\sin 40\cos 40}_{\sin 80}\cdot \sin 40 - \cos 80 \cos40 ) =[/tex]

[tex]2(- (\cos 80 \cos40 - \sin80 \sin 4 0))= -2 (\cos 80 \cos40 - \sin80 \sin 4 0)[/tex]

В итоге мы получим формулу

[tex]\bullet ~~\boldsymbol{ \cos (a+b)= \cos a \cos b - \sin a \sin b }[/tex]

[tex]-2 (\cos 80 \cos40 - \sin80 \sin 4 0) = -2 \cdot (\cos (80 +40))= -2 \cos (120) = \\\\= -2\cos(90+30) = -2\cdot ( -\sin30) = -\dfrac{1}{2}\cdot (-2)= 1[/tex]