Дан треугольник с вершинами А(-1;1;5),В(3;-4;5),С(-1;5;2)найти длину ВН высоты проведённую из вершины B к стороне AC.

Находим уравнение прямой АС.

Вектор AC = (-1-(-1); 5-1; 2-5) = (0; 4; -3).

Уравнение АС: (x + 1)/0 = (y- 1)/4 = (z – 5)/(-3).

Запишем уравнение в параметрической форме.

x + 1 = 0*t; x = -1;

y – 1 = 4t;  y = 4t + 1;

z – 5 = -3t; z = -3t + 5.

Так как точка Н принадлежит прямой АС, то можно выразить её координаты из параметрического уравнения прямой АС.

H(-1; 4t + 1; -3t + 5).

Найдём вектор BH = (-1-3; 4t + 1 – (-4); -3t + 5 – 5) = (-4; 4t + 5; -3t).

Используем свойство скалярного произведения перпендикулярных векторов, равного 0: BH*AC = 0.

Вектор BH = (-4; 4t + 5; -3t), вектор AC = (0; 4; -3).

BH*AC = 0 + 16t + 20 + 9t =0, 25t = -20, t = - 20/25 = -4/5.

Подставим значение t в координаты вектора ВН(-4; 4t + 5; -3t).

ВH = (-4; 4*(-4/5) + 5; -3*(-4/5) + 5) = (-4; 9/5; 12/5).

Находим длину высоты из точки В как модуль вектора ВН.

BH = √((-4)² + (9/5)² + (12/5)²) = √(16 + (81/25) + (144/25)) = √625 = 25.

Ответ: высота из точки В на сторону АС равна 25.