Ответ:

Площадь поверхности тела, полученного при вращении, равна 105π см².

Объяснение:

Требуется найти площадь поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с гипотенузой 12,5 см и проведенной к ней высотой равной 6 см, вокруг гипотенузы.

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

АС = 12,5 см;

ВЕ = 6 см - высота.

Найти: площадь поверхности тела, полученного при вращении.

Решение:

1. Рассмотрим тело вращения.

Получили два конуса с образующими АВ и ВС.

Площадь поверхности тела, полученного при вращении, будет равна сумме площадей боковых поверхностей конусов.

• Площадь боковой поверхности конуса равна:
• Sбок. = πRl, где l - образующая, R - радиус основания.

ВЕ ⊥ АС - высота ΔАВС ⇒ ВЕ - радиус основания конусов.

2. Теперь найдем образующие, то есть АВ и ВС.

Для этого воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике:

• Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Пусть АЕ = х см, тогда СЕ = (12,5 - х) см.

ВЕ² = АЕ · ЕС

36 = х(12,5 - х)

36 = 12,5х - х²

х² - 12,5х + 36 = 0

[tex]\displaystyle x_{1,2}=\frac{12,5\pm\sqrt{156,25-144} }{2}=\frac{12,5\pm3,5}{2}\\\\ x_1=8; \;\;\;\;\;x_2=4,5[/tex]

Так как за х мы приняли больший отрезок АЕ, то

АЕ = 8 см; ЕС = 4,5 см.

АВ² = АЕ · АС = 8 · 12,5 = 100

АВ = 10 см.

ВС² = ЕС · АС = 4,5 · 12,5 = 56,25

ВС = 7,5 см.

3. Найдем площади боковых поверхностей конусов.

Площадь верхнего конуса:

S₁ = π · 6 · 10 = 60π (см²)

Площадь нижнего конуса:

S₂ = π · 6 · 7,5 = 45π (см²)

Площадь тела вращения:

S = S₁ + S₂ = 60π + 45π = 105π (см²)

Площадь поверхности тела, полученного при вращении, равна 105π см².