Ответ:

Для того, щоб довести, що чотири точки утворюють прямокутник, ми повинні перевірити дві речі:

Чи всі чотири кути прямі кути?

Чи протилежні сторони мають однакову довжину?

Щоб перевірити, чи всі кути прямі, ми можемо перевірити, чи кут між будь-якими двома сусідніми векторами дорівнює 90 градусам.

Можемо розрахувати вектори AB, BC, CD та DA, використовуючи координати точок:

AB = (2-(-1), 0-3) = (3,-3)

BC = (4-2, -2-0) = (2,-2)

CD = (1-4, -5-(-2)) = (-3,-3)

DA = (-1-1, 3-(-5)) = (-2,8)

Тепер ми можемо розрахувати кути між цими векторами, використовуючи формулу скалярного добутку:

AB•BC = (3)(2) + (-3)(-2) = 12

BC•CD = (2)(-3) + (-2)(-3) = 0

CD•DA = (-3)(-2) + (-3)(8) = -18

DA•AB = (-2)(3) + (8)(-3) = -30

Отже, ми бачимо, що три з чотирьох кутів дорівнюють 90 градусам, тому всі чотири кути є прямими кутами.

Щоб перевірити, чи мають протилежні сторони однакову довжину, ми можемо розрахувати довжину кожної з чотирьох сторін:

AB = √(3² + (-3)²) = √(18) = 3√2

BC = √(2² + (-2)²) = √(8) = 2√2

CD = √((-3)² + (-3)²) = √(18) = 3√2

DA = √((-2)² + 8²) = √(68) = 2√17

Ми бачимо, що AB = CD і BC = DA, отже, протилежні сторони мають однакову довжину.

Отже, ми довели, що чотири точки А(-1;3), B(2;0), C(4;-2), D(1;-5) є вершинами