1.)3 вершини прямого кута прямокутника проведено перпендикуляр, який ділить гіпотенузу на вiдрiзки 36 і 64 см. Обчислить вiдрiзки, на які ділять бісектриса більшого гострого кута цей перпендикуляр.
2.)У рівнобедреному трикутнику радіуси вписаного і описаного кiл вiдповiдно дорівнюють 12 і 25 см. Обчислити периметр трикутника.
Answers & Comments
Ответ:
1.) Отрезки, на которые делит биссектриса большего острого угла этот перпендикуляр, равны 30 см и 18 см, начиная от вершины.
2.) Периметр треугольника равен 128 см или 28√21 см.
Объяснение:
1.) Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведен перпендикуляр, который делит гипотенузу на отрезки 36 см и 64 см. Вычислить отрезки, на которые делит биссектриса большего острого угла этот перпендикуляр.
Дано: ΔАВС - прямоугольный;
ВН ⊥ АС;
АН = 36 см; НВ = 64 см.
АЕ - биссектриса.
АЕ ∩ ВН = К.
Найти: ВК и КН.
Решение:
1. ВН ⊥ АС (условие) ⇒ ВН - высота ΔАВС.
Используем метрические соотношения в прямоугольном треугольнике:
Найдем АВ и ВН.
АВ² = АН · АС = 36 · (36 + 64) = 36 · 100
АВ = 6 · 10 = 60 (см)
ВН² = ВН · НС = 36 · 64
ВН = 6 · 8 = 48 (см)
2. Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный.
АК - биссектриса (условие)
⇒
[tex]\displaystyle\bf \frac{AB}{AH} =\frac{KB}{KH}[/tex]
[tex]\displaystyle\bf \frac{KB}{KH}=\frac{60}{36} =\frac{5}{3}[/tex]
Пусть КВ = 5х см, тогда КН = 3х см.
ВН = 48 см.
Составим уравнение:
5х + 3х = 48
8х = 48
х = 6
⇒ КВ = 30 см; КН = 18 см.
2.) В равнобедренном треугольнике радиусы вписанного и описанного окружностей соответственно равны 12 см и 25 см. Вычислить периметр треугольника.
Дано: ΔАВС - равнобедренный.
Окр.О₁,r - вписана в ΔАВС;
Окр.О₂,R - описана около ΔАВС;
r = 12 см, R = 25 см.
Найти: Р(АВС).
Решение:
Проведем ВН - высоту.
⇒ ВН - серединный перпендикуляр АС.
Проведем О₂К - серединный перпендикуляр ВС.
⇒ О₂ - центр окружности, описанной около ΔАВС.
Пусть ВК = КС = b, AH = HC = a
⇒ AB = BC = 2b, AC = 2a.
Пусть ∠ВО₂К = ∠С = α
Формулы радиусов вписанной и описанной окружностей:
[tex]\displaystyle\bf \boxed {R=\frac{abc}{4S} },\;\;\;\;\;\boxed {r=\frac{2S}{P} }[/tex],
где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника, Р - его периметр.
Из формул выразим S.
1.
[tex]\displaystyle\bf S=\frac{abc}{4R} \\\\S=\frac{2b\cdot{2b}\cdot{2a}}{4\cdot25} =\frac{2ab^2}{25}\;\;\;\;\;(1)[/tex]
2.
[tex]\displaystyle\bf S=\frac{rP}{2}\\ \\S=\frac{12\cdot(2b+2b+2a)}{2} =6(4b+2a)\;\;\;\;\;(2)[/tex]
Приравняем (1) и (2)
[tex]\displaystyle\bf \frac{2ab^2}{25}=6(4b+2a)\;\;\;|\cdot 25\\\\2ab^2=25\cdot6(4b+2a)\\\\ab^2=75(4b+2a)\;\;\;\;\;(3)[/tex]
3. Рассмотрим ΔHBC - прямоугольный.
[tex]\displaystyle\bf \frac{HC}{BC}=cos\;\alpha[/tex] или [tex]\displaystyle\bf \frac{a}{2b}=cos\;\alpha[/tex]
⇒ a = 2b · cosα
Подставим значение а в равенство (3):
(2b cosα) · b² = 75 (4b + 4b cosα)
2b³cosα = 75 · 4b · (1 + cosα) |:(2b)
b²cosα = 150(1 + cosα) (4)
4. Рассмотрим ΔО₂ВК - прямоугольный.
[tex]\displaystyle\bf \frac{O_2K}{O_2B}=cos\;\alpha \;\;\;[/tex] или [tex]\displaystyle\bf \frac{O_2K}{25} =cos\;\alpha[/tex]
O₂K = 25cosα
По теореме Пифагора:
КВ² = О₂В² - О₂К²
b²= 625 - 625cos²α = 625(1 - cos²α)=625(1 - cosα)(1 + cosα)
Подставим b² в равенство (4):
625(1 - cosα)(1 + cosα) · cosα = 150(1 + cosα) |:25(1 + cosα)
25(1 - cosα) · cosα = 6
25 cosα - 25 cos²α - 6 = 0
cos α = x
25x² - 25x + 6 = 0
D = 625 - 600 = 25
√D = 5
[tex]\displaystyle\bf x_1=\frac{25+5}{50}=\frac{3}{5}\;\;\;\;\;x_2=\frac{25-5}{50}=\frac{2}{5}[/tex]
Получили два значения:
[tex]\displaystyle\bf cos\alpha =\frac{3}{5},\;\;\;\;\;cos\alpha=\frac{2}{5}[/tex]
Найдем стороны:
1) cosα = 3/5
[tex]\displaystyle\bf b^2=625-625\cdot\frac{9}{25}=400\\ \\ b=20[/tex]
[tex]\displaystyle\bf a=2\cdot20\cdot{\frac{3}{5} }=24[/tex]
⇒ АВ = ВС = 40 см; АС = 48 см
Такой треугольник существует.
Р = 40 + 40 + 48 = 128 (см)
2) cosα = 2/5.
[tex]\displaystyle\bf b^2=625-625\cdot\frac{4}{25}=525\\ \\ b=5\sqrt{21}[/tex]
[tex]\displaystyle\bf a=2\cdot5\sqrt{21} \cdot{\frac{2}{5} }=4\sqrt{21}[/tex]
⇒ АВ = ВС = 10√21 см; АС = 8√21 см
Такой треугольник тоже существует.
Р = 10√21 + 10√21 + 8√21 = 28√21 (см)
Периметр треугольника равен 128 см или 28√21 см.
Если Вы знаете формулу Эйлера, то можно решить проще (см. вложение.
#SPJ1