130 баллов!!!ССЮЮЮЮДАААРешите 4 логарифмических неравенства,надо знать,как они решаются,с меня лучший ответ.
Answers & Comments
Kulakca
3 Сделаем замену 2^x = t, t > 0 - показательная функция принимает только положительные значения, что мы и будем учитывать в дальнейшем. Тогда 2^(1-x) = 2/2^x = 2/t Неравенство с учётом замены приобретает вид: t + 2/t - 3 < 0 Можем умножить обе части неравенства на t > 0. При этом знак неравенства не меняем: t^2 -3t + 2 < 0 Решаем квадратичное неравенство методом интервалов: (t - 2)(t-1) < 0 Отсюда 1< t < 2 Ну здесь всё хорошо вроде бы: условие t > 0 выполняется Теперь вспоминаем, кто такой t: 1 < 2^x < 2 До сего момента специфики было не очень много. Сделали замену(в этом ничего нового нет). Теперь решать будем показательное неравенство. Для этого приведём все степени к удобному для нас основанию(то есть. к 2) 2^0 < 2^x < 2^1 2^x - возрастающая функция, поэтому 0 < x < 1 4 При решении показательных неравенств приходится во многих случаях приводить все степени к одному основанию. В этом неравенстве у нас два "несовместимых" основания: 2 и 5. Значит. эта идея тут не сработает. Но зато я знаю, что 5^x > 0 - показательная функция принимает лишь положительные значения. Поэтому я спокойно смогу разделить обе части неравенства на 5^x. Но перед этим немного преобразую левую часть: 4 * 2^x - 8 * 2^x - 16 * 2^x > 5 * 5^x - 5^x Здесь я воспользовался свойствами степеней. Например, 2^(x+2) = 2^x * 2^2 = 4*2^x. далее: -20 * 2^x > 4 * 5^x -5 * 2^x > 5^x Теперь делим на 5^x > 0: -5 * (2/5)^x > 1 Ну и сделали то, что хотели - пришли к одному основанию. (2/5)^x < -1/5 И теперь мы видим одну важную вещь. Слева - показательная функция, которая принимает лишь положительные значения. Из нашего неравенства видно, что она меньше отрицательного значения, чего быть не может. Значит, решений у неравенства нет.
0 votes Thanks 2
missFr
Ага,как всё доступно,ясно изложено!А всё-таки несложно.Это 11 класс?Теперь я что-то знаю.Буду ежедневно пересматривать ваше решение.У меня уже голова не работает,честно говоря.Но изложили гениально.Буду учиться на вашем примере сама.БОЛЬШОЕ СПАСИБО!
missFr
решения есть ниже,а честно говоря,я на просторах их нашла,решила двгиаться с алгеброй дальше,у самой ГИА впереди,хочу здесь решать старшеклассникам логарифмы,тригонометрические почти научилась решать:) спасибо,я буду платить баллами)
Answers & Comments
Сделаем замену 2^x = t, t > 0 - показательная функция принимает только положительные значения, что мы и будем учитывать в дальнейшем.
Тогда 2^(1-x) = 2/2^x = 2/t
Неравенство с учётом замены приобретает вид:
t + 2/t - 3 < 0
Можем умножить обе части неравенства на t > 0. При этом знак неравенства не меняем:
t^2 -3t + 2 < 0
Решаем квадратичное неравенство методом интервалов:
(t - 2)(t-1) < 0
Отсюда 1< t < 2
Ну здесь всё хорошо вроде бы: условие t > 0 выполняется
Теперь вспоминаем, кто такой t:
1 < 2^x < 2
До сего момента специфики было не очень много. Сделали замену(в этом ничего нового нет). Теперь решать будем показательное неравенство. Для этого приведём все степени к удобному для нас основанию(то есть. к 2)
2^0 < 2^x < 2^1
2^x - возрастающая функция, поэтому
0 < x < 1
4
При решении показательных неравенств приходится во многих случаях приводить все степени к одному основанию. В этом неравенстве у нас два "несовместимых" основания: 2 и 5. Значит. эта идея тут не сработает.
Но зато я знаю, что 5^x > 0 - показательная функция принимает лишь положительные значения. Поэтому я спокойно смогу разделить обе части неравенства на 5^x. Но перед этим немного преобразую левую часть:
4 * 2^x - 8 * 2^x - 16 * 2^x > 5 * 5^x - 5^x
Здесь я воспользовался свойствами степеней. Например, 2^(x+2) = 2^x * 2^2 = 4*2^x.
далее:
-20 * 2^x > 4 * 5^x
-5 * 2^x > 5^x
Теперь делим на 5^x > 0:
-5 * (2/5)^x > 1
Ну и сделали то, что хотели - пришли к одному основанию.
(2/5)^x < -1/5
И теперь мы видим одну важную вещь. Слева - показательная функция, которая принимает лишь положительные значения. Из нашего неравенства видно, что она меньше отрицательного значения, чего быть не может. Значит, решений у неравенства нет.