Высота PO правильной четырёхугольной пирамиды PABCD равна 4, а стороны основания ABCD равны 6. Точки M и N – середины отрезков BC и CD . Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду PMNC .
Ответ:12 /( 13+sqr(41) ).
Нужно подробное решение, "лучший ответ" выдам без проблем.
Answers & Comments
Verified answer
Обозначения: О - центр основания (проекция вершины Р на основание, РО - высота пирамиды), К - середина MN.
MN = 3√2.
В треугольнике POM (или в PON, они равны) PO = 4; OM = 3; поэтому PN = PM = 5;
PK = √(5^2 - (3√2/2)^2) = √(41/2);
Площадь треугольника PMN Spmn = (3√2)*√(41/2)/2 = 3√41/2;
Площади треугольников PCM и PCN равны 3*5/2 = 15/2;
Площадь основания - треугольника CMN равна 3*3/2 = 9/2;
Отсюда объем пирамиды PCMN V = (9/2)*4/3 = 6;
Площадь всей поверхности S = 3√41/2 + 15/2 + 15/2 + 9/2 = 3(13 + √41)/2;
Радиус вписанной сферы r = 3V/S = 3*6/(3(13 + √41)/2) = 12/(13 + √41);
Если не понятно, почему r = 3V/S, то надо мысленно соединить центр сферы с вершинами пирамиды - тогда она разобьется на 4 пирамиды, в которых основаниями служат боковые грани, а высотами - радиусы сферы, проведенные в точки касания.