Построение сечения ясно из рисунка. На высоте ОК=√3 проводится прямая параллельно диагонали АС до пересечения с апофемами граней ASF и CSD. Через вершины А и С и соответствующие точки пересечения проводим прямые до пересечения с ребрами SF и SD, получая точки сечения M и N соответственно. Продлив прямую НК до пересечения с ребром SE, получаем точку G. В правильном шестиугольнике АВСDЕF: Внутренние углы равны 120°. Сторона равна радиусу описанной окружности, значит большая диагональ ВЕ=12 (равна ее диаметру). Диаметр ВЕ перпендикулярен хорде АС и является биссектрисой угла АВС. Значит и отрезок GH перпендикулярен АС. Итак, <OBC=60°, а <BCA=30°. ВН=3, как катет против <30°. НО=ВО-ВН=3. Тогда в прямоугольном треугольнике ОНК тангенс угла ОНК равен отношению ОК/ОН=√3/3. А это тангенс угла 30°. В треугольнике GHE: <GEH=60° (дано), <GHE=30°, следовательно <HGE=90°. То есть плоскость сечения перпендикулярна ребру SE, что и требовалось доказать.
б)б) Из прямоугольного тр-ка SOE: OE=6, <OSE=30°, значит SE=12. Из прямоугольного тр-ка GHE: HE=9, <GHE=30°, значит GE=4,5, GН=4,5√3=7,79. Тогда SG=12-4,5=7,5. Плоский угол боковых граней пирамиды при вершине S можем найти по теореме косинусов: AF²=AS²+FS²-2*AS*FS*Cosα. Отсюда Cosα=(2*AS²-AF²)/2*AS² или Cosα=(2*144-36)/2*144=7/8=0,875. Плоский угол FSD при вершине S можем найти по теореме косинусов: DF²=FS²+DS²-2*AS*DS*Cosβ. Отсюда Cosβ=(2*FS²-DF²)/2*FS² или Cosβ=(2*144-10,39²)/2*144=0,625. Треугольник NSG прямоугольный (так как SG перпендикулярна плоскости АCMGN, значит SG перпендикулярна прямым MG, GT и GN. Тогда SN=SG/Cosα или SN=7,5/0,875=8,57, a NG=√(NS²-SG²)=√(8,57²-7,5²)=√17,2=4,15. По теореме косинусов: MN²=SM²+SN²-2*SM*SN*Cosβ или MN²=2*8,57²-2*8,57²*0,625=2*8,57²*0,375=55,08. MN=√55,08=7,42. В прямоугольном тр-ке GTN найдем по Пифагору GT=√(GN²-TN²)=√(17,2-13,76)=1,85. Тогда НТ=НG-GT=7,79-1,85=5,94. Площадь сечения равна сумме площадей трапеции ACMGN и треугольника MGN. Площадь трапеции равна: S1=(AC+MN)*HT/2=(10,39+7,42)*5,94/2=52,896=52,9 Площадь треугольника равна: S2=(1/2)*MN*GT=(1/2)*7,42*1,85=6,86. Площадь сечения: S=S1+S2=59,76. Ответ: Sc=59,76.
Answers & Comments
Verified answer
Построение сечения ясно из рисунка. На высоте ОК=√3 проводится прямая параллельно диагонали АС до пересечения с апофемами граней ASF и CSD. Через вершины А и С и соответствующие точки пересечения проводим прямые до пересечения с ребрами SF и SD, получая точки сечения M и N соответственно. Продлив прямую НК до пересечения с ребром SE, получаем точку G.В правильном шестиугольнике АВСDЕF:
Внутренние углы равны 120°. Сторона равна радиусу описанной окружности, значит большая диагональ ВЕ=12 (равна ее диаметру).
Диаметр ВЕ перпендикулярен хорде АС и является биссектрисой угла АВС. Значит и отрезок GH перпендикулярен АС. Итак, <OBC=60°, а <BCA=30°. ВН=3, как катет против <30°.
НО=ВО-ВН=3. Тогда в прямоугольном треугольнике ОНК тангенс угла ОНК равен отношению ОК/ОН=√3/3. А это тангенс угла 30°. В треугольнике GHE: <GEH=60° (дано), <GHE=30°, следовательно <HGE=90°.
То есть плоскость сечения перпендикулярна ребру SE, что и требовалось доказать.
б)б) Из прямоугольного тр-ка SOE: OE=6, <OSE=30°, значит SE=12.
Из прямоугольного тр-ка GHE: HE=9, <GHE=30°, значит GE=4,5, GН=4,5√3=7,79. Тогда SG=12-4,5=7,5.
Плоский угол боковых граней пирамиды при вершине S можем найти по теореме косинусов: AF²=AS²+FS²-2*AS*FS*Cosα. Отсюда Cosα=(2*AS²-AF²)/2*AS² или
Cosα=(2*144-36)/2*144=7/8=0,875.
Плоский угол FSD при вершине S можем найти по теореме косинусов: DF²=FS²+DS²-2*AS*DS*Cosβ.
Отсюда Cosβ=(2*FS²-DF²)/2*FS² или Cosβ=(2*144-10,39²)/2*144=0,625.
Треугольник NSG прямоугольный (так как SG перпендикулярна плоскости АCMGN, значит SG перпендикулярна прямым MG, GT и GN. Тогда SN=SG/Cosα или SN=7,5/0,875=8,57, a
NG=√(NS²-SG²)=√(8,57²-7,5²)=√17,2=4,15.
По теореме косинусов:
MN²=SM²+SN²-2*SM*SN*Cosβ или
MN²=2*8,57²-2*8,57²*0,625=2*8,57²*0,375=55,08.
MN=√55,08=7,42.
В прямоугольном тр-ке GTN найдем по Пифагору GT=√(GN²-TN²)=√(17,2-13,76)=1,85.
Тогда НТ=НG-GT=7,79-1,85=5,94.
Площадь сечения равна сумме площадей трапеции ACMGN и треугольника MGN.
Площадь трапеции равна:
S1=(AC+MN)*HT/2=(10,39+7,42)*5,94/2=52,896=52,9
Площадь треугольника равна:
S2=(1/2)*MN*GT=(1/2)*7,42*1,85=6,86.
Площадь сечения: S=S1+S2=59,76.
Ответ: Sc=59,76.