Решение.

[tex]\bf 1.\ \ x^2+4x+10\geq 0[/tex]

Выделим полный квадрат:  

[tex]\bf x^2+4x=10=(x+2)^2-4+10=(x+2)^2+6[/tex]

[tex]\bf (x+2)^2+6\geq 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\in (-\infty ;+\infty )[/tex]

Если к квадрату какого-либо выражения, который принимает только неотрицательные значения, прибавить положительное число 6, то получим положительное значение суммы при любых значениях переменной  х .

[tex]\bf 2.\ \ -x^2+10x-25 > 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2-10x+25 < 0\ \ .\\\\(x-5)^2 < 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\in \varnothing[/tex]

Решений нет, так как квадрат любого выражения не может принимать отрицательные значения.

[tex]\bf 3.\ \ x^2+3x+2\leq 0\ \ ,\ \ \ (x+1,5)^2-2,25+2\leq 0\ \ ,\\\\(x+1,5)^2-0,25\leq 0\ \ ,\ \ \ (x+1,5)^2-0,5^2\leq 0[/tex]

Применяем формулу разности квадратов.

[tex](x+1,5-0,5)(x+1,5+0,5)\leq 0\ \ ,\ \ \ (x+1)(x+2)\leq 0[/tex]

Метод интервалов .  Нули функции  х= -1 , х= -2  .

Знаки:   + + + + + [-2 ] - - - [-1 ] + + + + +

[tex]\bf x\in [-2\, ;-1\, ][/tex]

[tex]\bf 4.\ \ -x^2+4 < 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2-4 > 0\ \ ,\ \ (x-2)(x+2) > 0[/tex]

Знаки:   + + + + + (-2) - - - (2) + + + + +

[tex]\bf x\in (-\infty ;-2\, )\cup (\, 2\, ;+\infty \, )[/tex]