Ответ:

Катет ВС дорівнює 18 см.

Объяснение:

У трикутнику АВС відомо, що ∠С=90°, ∠А=60°. На катеті ВС позначили точку D так, що ∠BDА=120°. Найдіть катет ВС, якщо AD=12 см.

• Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.

• Катет прямокутного трикутника, що лежить навпроти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи.
• Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним.

1.  

Так як ∠АDС і ∠АDВ - суміжні, то:

∠АDС + ∠АDВ = 180°

∠АDС=180°-∠АDВ=180°-120°=60°

2.

Розглянемо прямокутний трикутник АDC (∠C=90°)

За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника:

∠САD=90°-∠АDС=90°-60°=30°

Катет СD лежить проти кута ∠АСD=30°, АD - гіпотенуза, тому:

СD=1/2·АD=1/2·12=6(см)

3.

Розглянемо ΔАDВ

∠ВАD=∠А-∠САD=60°-30°=30°

∠АDС - зовнішній кут ΔАDВ, тому:

∠АDС=∠ВАD+∠В,  ⇒

∠В=∠АDС-∠ВАD=60°-30°=30°

∠ВАD=∠В=30°, отже ΔАDВ - рівнобедрений з основою АВ.

DВ=АD=12 (см) - як бічні сторони рівнобедоеного трикутника

4.

ВС=DВ+СD=12+6=18 (см)

Відповідь: 18 см