1. Ответ:

[tex]\frac{1+2i}{3+4i} =\frac{11}{25} +\frac{2}{25} i[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{3} +\sqrt{2} i}{\sqrt{3} -\sqrt{2} i} =\frac{1}{5} +\frac{2\sqrt{6}}{5} i[/tex]

Объяснение: чтобы выполнить деление комплексных чисел, обе части дроби умножаем на комплексно-сопряженное знаменателя и далее сделаем простейшие математические операции.

1.1 [tex]\frac{1+2i}{3+4i} =\frac{1+2i}{3+4i} *\frac{3-4i}{3-4i} =\frac{(1+2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} =\frac{3-4i+6i+8}{9+16} =\frac{11+2i}{25} =\frac{11}{25} +\frac{2}{25} i[/tex]

1.2 [tex]\frac{\sqrt{3} +\sqrt{2} i}{\sqrt{3} -\sqrt{2} i} =\frac{\sqrt{3} +\sqrt{2} i}{\sqrt{3} -\sqrt{2} i}*\frac{\sqrt{3} +\sqrt{2} i}{\sqrt{3} +\sqrt{2} i}=\frac{(\sqrt{3} +\sqrt{2} i)(\sqrt{3} +\sqrt{2} i)}{(\sqrt{3} -\sqrt{2} i)(\sqrt{3} +\sqrt{2} i)} =\frac{3+2\sqrt{6}i -2}{3+2} =[/tex]

[tex]=\frac{1+2\sqrt{6}i}{5} =\frac{1}{5} +\frac{2\sqrt{6}}{5} i[/tex]

2. Ответ:

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{3n+5} = \frac{2}{3}[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty} (\sqrt{3n+1} -\sqrt{n+2} ) =\infty[/tex]

Решение:

2.1 получили неопределенность типа ∞/∞. Сократим обе части дроби на n и подставляем значение n, к которому оно стремится:

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{3n+5} = |\frac{\infty}{\infty} |=\lim_{n \to \infty} \frac{2+\frac{3}{n} }{3+\frac{5}{n} } =\frac{2}{3}[/tex]

2.2 получили неопределенность типа ∞ - ∞. Умножаем и делим на сопряженное выражения под пределом, преобразуем и получаем неопределенность типа ∞/∞. Обе части дроби делим на n и подставляем значение n, к которому оно стремится:

[tex]\lim_{n \to \infty} (\sqrt{3n+1} -\sqrt{n+2} ) =|\infty-\infty| =\lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{3n+1} -\sqrt{n+2} ) (\sqrt{3n+1} +\sqrt{n+2} ) }{\sqrt{3n+1} +\sqrt{n+2}} =[/tex]

[tex]=\lim_{n \to \infty} \frac{3n+1 -n-2}{\sqrt{3n+1} +\sqrt{n+2}} =lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{\sqrt{3n+1} +\sqrt{n+2}} =|\frac{\infty}{\infty} |=lim_{n \to \infty} \frac{2-\frac{1}{n} }{\sqrt{\frac{3}{n} +\frac{1}{n^{2} } } +\sqrt{\frac{1}{n} +\frac{2}{n^{2} } }} =[/tex]

[tex]=\frac{2-0}{\sqrt{0+0} +\sqrt{0+0} } =\frac{2}{0} =\infty[/tex]