Тупоугольный треугольник ABC вписан в окружность радиуса 8/√15. Известно, что длины сторон AB и AC равны соответственно 3 и 4. Найти периметр треугольника
Answers & Comments
A1dar
Обозначим длину стороны AB за x (x ≥ 0). Вспомним формулу нахождения описанной около треугольника окружности через произведение сторон и площадь
Найдем площадь треугольника по формуле Герона , где
Подставим получившееся значение в первое уравнение
По условию треугольник тупоугольный, значит AB = 2, а P = 3 + 4 + 2 = 9
Ответ: 9
1 votes Thanks 1
ssoxo
B=3, c=4, R=8/√15, ∠C>90°. Радиус: R=abc/4S, Площадь ΔАВС: S=ah/2, R=2abc/4ah=bc/2h ⇒ h=bc/2R=3·4·√15/(2·8)=0.75√15. В тр-ке АВН ВН=√(с²-h²)=√(4²-(0.75√15)²)=2.75 В тр-ке АСН СН=√(b²-h²)=√(3²-(0.75√15)²)=0.75 a=BH-CH=2. Периметр ΔАВС: Р=a+b+c=2+3+4=9 (ед) - это ответ.
1 votes Thanks 0
Denik777
Здесь неплохо бы объяснить, почему вы решили, что именно угол С тупой, а не, допустим, А. Без этого неполное решение.
ssoxo
Вообще- то это тот случай, когда рисунок вытекает из решения, а не наоборот. Уже понятно, что тр-ник имеет два решения а=ВН-СН=2 и а=ВН+СН=3.5, сторона "с" всё-равно больше, отсюда следует, что угол С должен быть тупым. Для наглядности, рядом можно было изобразить ещё и остроугольный треугольник, чтобы уж совсем разжевать.
Answers & Comments
Найдем площадь треугольника по формуле Герона
, где
Подставим получившееся значение в первое уравнение
Замена
Вернемся к замене
Найдем больший угол треугольника по теореме косинусов
1) Стороны: 3; 4; 3,5
Значит ∠B < 90° ⇒ ΔABC - остроугольный.
2) Стороны: 3; 4; 2
Значит ∠B > 90° ⇒ ΔABC - тупоугольный.
По условию треугольник тупоугольный, значит AB = 2, а P = 3 + 4 + 2 = 9
Ответ: 9
Радиус: R=abc/4S,
Площадь ΔАВС: S=ah/2,
R=2abc/4ah=bc/2h ⇒
h=bc/2R=3·4·√15/(2·8)=0.75√15.
В тр-ке АВН ВН=√(с²-h²)=√(4²-(0.75√15)²)=2.75
В тр-ке АСН СН=√(b²-h²)=√(3²-(0.75√15)²)=0.75
a=BH-CH=2.
Периметр ΔАВС: Р=a+b+c=2+3+4=9 (ед) - это ответ.