Заметим, что 1/2-1/3=1/6, что больше, чем 1/16

Значит

1+1/2+1/3+...+1/16<1+1/2+1/2+1/4+...+1/15

Теперь все числа начиная с 1/4 и у которых знаменатель не является степеьню двойки, будем увеличивать до ближайщей дроби, знаменатель которой является степенью двойки(надеюсь понятно написал)

То есть 1/5 -> 1/4,

1/6 -> 1/4

1/9 -> 1/8

...

Тогда 

1+1/2+1/3+...+1/16<1+1/2+1/2+1/4+...+1/15<1+1+1/4+1/4+1/4+1/4...+1/8=1+1+1+1=4