Написать уравнение касательной и нормали к графику функции y=sin(6x)-3 в точке х₀=π/18.

Ответ:

а) y=(√3-6)/2+3x-π/6;

b) y=(√3-6)/2-1/3x+π/54.

Пошаговое объяснение:

Сначала вспомним общий вид уравнения касательной и нормали к графику функции y=sin(6x)-3 в точке х₀:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} a)\ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\\\\b)\ y=f(x_0)-\frac{1}{f'(x_0)} (x-x_0)[/tex]

где а - уравнение касательной, b - уравнение нормали.

Находим производную функции:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} f(x)=\sin(6x)-3\\\\f'(x)=(\sin(6x)-3)'=(\sin(6x)-3)'*(6x)'=\\\\=\cos(6x)*6*1=6\cos(6x)[/tex]

Находим f'(x₀):

[tex]\LARGE \boldsymbol {} f'(x_0)=f'\left(\frac{\pi }{18} \right) =6\cos\left(6*\frac{\pi }{18} \right)=6\cos\frac{\not6\pi }{\not18} =\\\\=6\cos\frac{\pi }{3} =6*\frac{1}{2}=3[/tex]

Находим f(x₀):

[tex]\LARGE \boldsymbol {} f(x_0)=f\left(\frac{\pi }{18} \right) =\sin\left(6*\frac{\pi }{18} \right)-3=\sin\left(\frac{\not6\pi }{\not18} \right)-\\\\-3=\sin\left(\frac{\pi }{3} \right)-3=\frac{\sqrt{3} }{2} -3=\frac{\sqrt{3} -6}{2}[/tex]

Мы имеем f(x₀), f'(x₀) и x₀. Подставляем в уравнение касательной:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} y=\frac{\sqrt{3}-6 }{2}+3\left(x-\frac{\pi }{18}\right) \\\\y=\frac{\sqrt{3}-6 }{2}+3x-\frac{\not3\pi }{\not18} \\\\\boxed{y=\frac{\sqrt{3}-6 }{2}+3x-\frac{\pi }{6}}[/tex]

Уравнение касательной имеет вид y=(√3-6)/2+3x-π/6.

Теперь подставляем f(x₀), f'(x₀) и x₀ в уравнение нормали:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} y=\frac{\sqrt{3}-6 }{2} -\frac{1}{3}\left(x-\frac{\pi }{18}\right) \\\\y=\frac{\sqrt{3}-6 }{2} -\frac{1}{3}x+\frac{\pi }{3*18} \\\\\boxed{y=\frac{\sqrt{3}-6 }{2} -\frac{1}{3}x+\frac{\pi }{54} }[/tex]

Уравнение нормали имеет вид y=(√3-6)/2-1/3x+π/54.