Ответ:

[tex]9(4 + \sqrt{3})[/tex] см^2

Пошаговое объяснение:

1) Имеется правильная треугольная пирамида DABC (ABC - основание). Точка O - центр ABC, т. е. DO - высота пирамиды. Отметим, что т. О - точка пересечения высот ΔABC. Обозначим основания этих высот как B1 и C1 (см. рис.)

2) По т. Пифагора для ΔDOC (∠O = 90°, т. к. DO - высота): [tex]OC^2 = DC^2 - DO^2 = 25 - 13 = 12; OC = 2\sqrt{3}[/tex]

В правильном треугольнике высоты точкой пересечения делятся в соотношении 2:1 (от вершины), значит BB1 = CC1 = 1.5*OC = 3√3 и OC1 = OB1 = √3. Также OA = OC = 2√3

3) OA = OC (п. 2) ⇒ ΔAOC - равнобедренный и AB1 = CB1 (OB1 - высота; высота в равноб. треугольнике - его медиана)

Проведём DB1. Так как пирамида правильная, её боковые рёбра равны, т. е. AD = DC, а так как AB1 = CB1, то DB1 - высота ΔADC

4) Для ΔB1OC по т. Пифагора [tex]B_1C^2 = OC^2 - OB^2 = 12 - 3 = 9[/tex], B1C = 3

AC = 2*B1C = 6.

Для ΔDB1C по т. Пифагора [tex]DB_1^2 = CD^2 - B_1C^2 = 25 - 9 = 16[/tex], DB1 = 4

[tex]S_{ADB} = S_{BDC} = S_{ADC} = \frac{1}{2}AC*DB_1 = \frac{1}{2} * 6 * 4 = 12[/tex] (площади равны, так как треугольники равны по 3-м сторонам)

5) [tex]S_{ABC} = \frac{1}{2}AC*BB_1 = \frac{1}{2} * 6 * 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}[/tex] (AC = 6 - п. 4, BB1 = 3√3 - п. 2)

Площадь полной поверхности: [tex]3*S_{ADB} + S_{ABC} = 36 + 9\sqrt{3} = 9(4 + \sqrt{3})[/tex] (см^2)