Функція f(x) = x^3 + 3x^2 є поліноміальною функцією степеня 3. Степінь поліноміальної функції - це найвищий степінь х, який використовується в функції. У цій функції степінь х рівна 3, тому вона є функцією степеня 3. Проміжки зростання та спадання функції не можуть бути визначені без графіку функції або без аналізу похідної.

1)

Щоб знайти проміжки зростання та спадання функції f(x) = x^3 + 3x^2, ми повинні проаналізувати її похідну f'(x) = 3x^2 + 6x. Критичні точки функції - це значення x, які роблять похідну рівною 0 або невизначеною.

x = 0 та x = -2 є критичними точками.

Щоб знайти проміжки зростання та спадання, нам також потрібно знайти другу похідну функції f''(x) = 6x + 6

При x=0, f''(x) = 6x + 6 = 6 > 0, тому по теоремі о третій похідній, функція має локальний мінімум.

При x=-2, f''(x) = 6x + 6 = -12 < 0, тому по теоремі о третій похідній, функція має локальний максимум.

Таким чином, функція f(x) = x^3 + 3x^2 зростає на (-infinity, -2) та (0, infinity) і спадає на (-2, 0)

------------------------------

2)

Щоб знайти точки мінімуму та максимуму функції f(x) = x^3 + 3x^2, нам потрібно знайти критичні точки та перевірити їхню косинусну точку.

Критичні точки функції:

x = 0 та x = -2

При x = 0, f'(x) = 3x^2 + 6x = 0, тому це критична точка.

При x = -2, f'(x) = 3x^2 + 6x = -6, тому це критична точка.

Для перевірки косинусної точки необхідно знайти другу похідну функції f''(x) = 6x + 6

При x=0, f''(x) = 6x + 6 = 6 > 0, тому по теоремі о третій похідній, точка x = 0 є точкою мінімуму

При x=-2, f''(x) = 6x + 6 = -12 < 0, тому по теоремі о третій похідній, точка x = -2 є точкою максимуму

Таким чином, точки мінімуму функції f(x) = x^3 + 3x^2: x = 0

Точки максимуму функції f(x) = x^3 + 3x^2: x = -2