Маємо множення семизначного числа 1QWERTY на однозначне число 3, в результаті отримали семизначне число 3WERTYQ.
1QWERTY
×
3
---------------
3WERTYQ
1) Звернемо увагу на сьомий ( старший ) розряд. У ньому одиниця в результаті множення на три дає трійку: 1 × 3 = 3. Таке можливо лише у тому випадку, якщо при множенні у шостому розряді відсутній перенос до сьомого розряду: Q × 3 = W ( W - це однорозрядне число ).
2) Існує три варіанти множення чисел у шостому розряді ( Q × 3 = W ):
А) 1 × 3 = 3 ( Q = 1, W = 3, за умови відсутності переносу з попереднього розряду );
В) 2 × 3 = 6 ( Q = 2, W = 6, за умови відсутності переносу з попереднього розряду );
С) 3 × 3 = 9 ( Q = 3, W = 9, за умови відсутності переносу з попереднього розряду ).
Варіант С ми відкидаємо, бо якщо W = 9, то множення W × 3 = E у п'ятому розряді дає: 9 × 3 = 27 - ми маємо перенос двох одиниць до шостого розряду. І до результату 3 × 3 = 9 треба додати ще двійку: 3 × 3 + 2 = 11 - ми маємо перенос одиниці до сьомого розряду і як результат у сьомому розряді до 1 × 3 = 3 треба додати ще одиницю 1 × 3 + 1 = 4, а це суперечить умовам задачі.
Розглянемо два інші варіанти ( А та В ).
Варіант А)
1 × 3 = 3 ( Q = 1, W = 3, за умови відсутності переносу з попереднього розряду );
11WERTY
×
3
---------------
3WERTY1
3) Почнемо з кінця. У першому ( молодшому ) розряді маємо: Y × 3 = Q = 1. Це можливо, якщо Y = 7 ( 7 × 3 = 21 ). Ми маємо перенос двох одиниць до другого розряду.
4) У другому розряді маємо: T × 3 = Y - 2 = 7 - 2 = 5 ( ми відняли дві одиниці оскільки ми перенесли їх до другого розряду в результаті множення у першому розряді ). Це можливо, якщо T = 5 ( 5 × 3 = 15 ). Якщо ми додамо дві одиниці як перенос з першого розряду отримаємо 15 + 2 = 17. Ми маємо перенос одиниці до третього розряду.
5) У третьому розряді маємо: R × 3 = T - 1 = 5 - 1 = 4 ( ми відняли одиницю оскільки ми перенесли її до третього розряду в результаті множення у другому розряді ). Це можливо, якщо R = 8 ( 8 × 3 = 24 ). Якщо ми додамо одиницю як перенос з першого розряду отримаємо 24 + 1 = 25. Ми маємо перенос двох одиниць до четвертого розряду.
6) У четвертому розряді маємо: E × 3 = R - 2 = 8 - 2 = 6 ( ми відняли дві одиниці оскільки ми перенесли їх до четвертого розряду в результаті множення у третьому розряді ). Це можливо, якщо E = 2 ( 2 × 3 = 6 ). Якщо до ми додамо дві одиниці як перенос з третього розряду отримаємо 6 + 2 = 8. У даному випадку ми не маємо переносу до п'ятого розряду.
7) У п'ятому розряді маємо: W × 3 = E = 2. Це можливо, якщо W = 4 ( 4 × 3 = 12 ). Ми маємо перенос одиниці до шостого розряду.
8) У шостому розряді маємо: Q × 3 + 1 = W ( ми додали одиницю оскільки ми перенесли її до шостого розряду в результаті множення у п'ятому розряді ). Q = 1 ( для варіанта А ). W = 1 × 3 + 1 = 4.
Маємо розв'язок:
1142857
×
3
---------------
3428571
Отже QWERTY = 142857
Варіант В)
2 × 3 = 6 ( Q = 2, W = 6, за умови відсутності переносу з попереднього розряду );
12WERTY
×
3
---------------
3WERTY2
3) Почнемо з кінця. У першому ( молодшому ) розряді маємо: Y × 3 = Q = 2. Це можливо, якщо Y = 4 ( 4 × 3 = 12 ). Ми маємо перенос одиниці до другого розряду.
4) У другому розряді маємо: T × 3 = Y - 1 = 4 - 1 = 3 ( ми відняли одиницю оскільки ми перенесли її до другого розряду в результаті множення у першому розряді ). Це можливо, якщо T = 1 ( 1 × 3 = 3 ). Якщо ми додамо одиницю як перенос з першого розряду отримаємо 3 + 1 = 4. У даному випадку ми не маємо переносу до третього розряду.
5) У третьому розряді маємо: R × 3 = T = 1. Це можливо, якщо R = 7 ( 7 × 3 = 21 ). Ми маємо перенос двох одиниць до четвертого розряду.
6) У четвертому розряді маємо: E × 3 = R - 2 = 7 - 2 = 5 ( ми відняли дві одиниці оскільки ми перенесли їх до четвертого розряду в результаті множення у третьому розряді ). Це можливо, якщо E = 5 ( 5 × 3 = 15 ). Якщо до ми додамо дві одиниці як перенос з третього розряду отримаємо 5 + 2 = 7. Ми маємо перенос одиниці до п'ятого розряду.
7) У п'ятому розряді маємо: W × 3 = E - 1 = 5 - 1 = 4 ( ми відняли одиницю оскільки ми перенесли її до п'ятого розряду в результаті множення у четвертому розряді ). Це можливо, якщо W = 8 ( 8 × 3 = 24 ). Ми маємо перенос двох одиниць до шостого розряду.
8) У шостому розряді маємо: Q × 3 + 2 = W ( ми додали дві одиниці оскільки ми перенесли її до шостого розряду в результаті множення у п'ятому розряді ). Q = 2 ( для варіанта В ). W = 2 × 3 + 2 = 8.
Маємо розв'язок:
1285714
×
3
---------------
3857142
Отже QWERTY = 285714
В результаті ми маємо два розв'язки
Варіант А) QWERTY = 142857
Варіант В) QWERTY = 285714
Існує ще третій варіант, коли Q = W = E = R = T = Y = 0, тобто QWERTY = 000000.
1 000 000 × 3 = 3 000 000
Але цей варіант є найменьшим з усіх.
Таким чином найбільше можливе число QWERTY є 285714.
Answers & Comments
Відповідь:
Найбільше можливе число QWERTY є 285714.
Сума його цифр дорівнює 27.
Пояснення:
Маємо множення семизначного числа 1QWERTY на однозначне число 3, в результаті отримали семизначне число 3WERTYQ.
1QWERTY
×
3
---------------
3WERTYQ
1) Звернемо увагу на сьомий ( старший ) розряд. У ньому одиниця в результаті множення на три дає трійку: 1 × 3 = 3. Таке можливо лише у тому випадку, якщо при множенні у шостому розряді відсутній перенос до сьомого розряду: Q × 3 = W ( W - це однорозрядне число ).
2) Існує три варіанти множення чисел у шостому розряді ( Q × 3 = W ):
А) 1 × 3 = 3 ( Q = 1, W = 3, за умови відсутності переносу з попереднього розряду );
В) 2 × 3 = 6 ( Q = 2, W = 6, за умови відсутності переносу з попереднього розряду );
С) 3 × 3 = 9 ( Q = 3, W = 9, за умови відсутності переносу з попереднього розряду ).
Варіант С ми відкидаємо, бо якщо W = 9, то множення W × 3 = E у п'ятому розряді дає: 9 × 3 = 27 - ми маємо перенос двох одиниць до шостого розряду. І до результату 3 × 3 = 9 треба додати ще двійку: 3 × 3 + 2 = 11 - ми маємо перенос одиниці до сьомого розряду і як результат у сьомому розряді до 1 × 3 = 3 треба додати ще одиницю 1 × 3 + 1 = 4, а це суперечить умовам задачі.
Розглянемо два інші варіанти ( А та В ).
Варіант А)
1 × 3 = 3 ( Q = 1, W = 3, за умови відсутності переносу з попереднього розряду );
11WERTY
×
3
---------------
3WERTY1
3) Почнемо з кінця. У першому ( молодшому ) розряді маємо: Y × 3 = Q = 1. Це можливо, якщо Y = 7 ( 7 × 3 = 21 ). Ми маємо перенос двох одиниць до другого розряду.
4) У другому розряді маємо: T × 3 = Y - 2 = 7 - 2 = 5 ( ми відняли дві одиниці оскільки ми перенесли їх до другого розряду в результаті множення у першому розряді ). Це можливо, якщо T = 5 ( 5 × 3 = 15 ). Якщо ми додамо дві одиниці як перенос з першого розряду отримаємо 15 + 2 = 17. Ми маємо перенос одиниці до третього розряду.
5) У третьому розряді маємо: R × 3 = T - 1 = 5 - 1 = 4 ( ми відняли одиницю оскільки ми перенесли її до третього розряду в результаті множення у другому розряді ). Це можливо, якщо R = 8 ( 8 × 3 = 24 ). Якщо ми додамо одиницю як перенос з першого розряду отримаємо 24 + 1 = 25. Ми маємо перенос двох одиниць до четвертого розряду.
6) У четвертому розряді маємо: E × 3 = R - 2 = 8 - 2 = 6 ( ми відняли дві одиниці оскільки ми перенесли їх до четвертого розряду в результаті множення у третьому розряді ). Це можливо, якщо E = 2 ( 2 × 3 = 6 ). Якщо до ми додамо дві одиниці як перенос з третього розряду отримаємо 6 + 2 = 8. У даному випадку ми не маємо переносу до п'ятого розряду.
7) У п'ятому розряді маємо: W × 3 = E = 2. Це можливо, якщо W = 4 ( 4 × 3 = 12 ). Ми маємо перенос одиниці до шостого розряду.
8) У шостому розряді маємо: Q × 3 + 1 = W ( ми додали одиницю оскільки ми перенесли її до шостого розряду в результаті множення у п'ятому розряді ). Q = 1 ( для варіанта А ). W = 1 × 3 + 1 = 4.
Маємо розв'язок:
1142857
×
3
---------------
3428571
Отже QWERTY = 142857
Варіант В)
2 × 3 = 6 ( Q = 2, W = 6, за умови відсутності переносу з попереднього розряду );
12WERTY
×
3
---------------
3WERTY2
3) Почнемо з кінця. У першому ( молодшому ) розряді маємо: Y × 3 = Q = 2. Це можливо, якщо Y = 4 ( 4 × 3 = 12 ). Ми маємо перенос одиниці до другого розряду.
4) У другому розряді маємо: T × 3 = Y - 1 = 4 - 1 = 3 ( ми відняли одиницю оскільки ми перенесли її до другого розряду в результаті множення у першому розряді ). Це можливо, якщо T = 1 ( 1 × 3 = 3 ). Якщо ми додамо одиницю як перенос з першого розряду отримаємо 3 + 1 = 4. У даному випадку ми не маємо переносу до третього розряду.
5) У третьому розряді маємо: R × 3 = T = 1. Це можливо, якщо R = 7 ( 7 × 3 = 21 ). Ми маємо перенос двох одиниць до четвертого розряду.
6) У четвертому розряді маємо: E × 3 = R - 2 = 7 - 2 = 5 ( ми відняли дві одиниці оскільки ми перенесли їх до четвертого розряду в результаті множення у третьому розряді ). Це можливо, якщо E = 5 ( 5 × 3 = 15 ). Якщо до ми додамо дві одиниці як перенос з третього розряду отримаємо 5 + 2 = 7. Ми маємо перенос одиниці до п'ятого розряду.
7) У п'ятому розряді маємо: W × 3 = E - 1 = 5 - 1 = 4 ( ми відняли одиницю оскільки ми перенесли її до п'ятого розряду в результаті множення у четвертому розряді ). Це можливо, якщо W = 8 ( 8 × 3 = 24 ). Ми маємо перенос двох одиниць до шостого розряду.
8) У шостому розряді маємо: Q × 3 + 2 = W ( ми додали дві одиниці оскільки ми перенесли її до шостого розряду в результаті множення у п'ятому розряді ). Q = 2 ( для варіанта В ). W = 2 × 3 + 2 = 8.
Маємо розв'язок:
1285714
×
3
---------------
3857142
Отже QWERTY = 285714
В результаті ми маємо два розв'язки
Варіант А) QWERTY = 142857
Варіант В) QWERTY = 285714
Існує ще третій варіант, коли Q = W = E = R = T = Y = 0, тобто QWERTY = 000000.
1 000 000 × 3 = 3 000 000
Але цей варіант є найменьшим з усіх.
Таким чином найбільше можливе число QWERTY є 285714.
Сума цифр цього числа:
QWERTY = 2 + 8 + 5 + 7 + 1 + 4 = 27