iknowthatyoufeelbro

Verified answer

Задача 1. 
Здесь используются перестановки с повторениями. Число способов расставить 4 различных цифры по 4 разрядам равно 4!. Но у нас есть повторяющиеся цифры. Число 2 повторяется 2 раза, поэтому результат нужно разделить на 2!. То есть 4!/2!=24/2=12.
Задача 2.
Поскольку скобок нет и приоритет одинаковых операций одинаков, то они выполняются слева направо. То есть сначала считается A=>B, затем (A=>B)=>C и т.д.
Переобозначим буквы A, B, C.... как a_1, a_2, a_3 для простоты индексации.
Введем функцию f(length, result), значение которой равно количеству решений уравнения вида a_1=>a_2=>....=>a_length = result. Длина цепочки из букв a_1, a_2, ..., a_length равна числу length, а параметр result может принимать значения 0 и 1. Нам по условию необходимо найти значение f(6,1), поскольку длина цепочки равна 6, а конечный результат 1.
Сначала решим уравнение a_1=0 - здесь всего 1 решение, поэтому f(1,0)=1. Количество решений уравнения a_1=1 тоже 1, поэтому f(1,1)=1.
Начальные условия для функции f(length, result) определены. Теперь нужно определить формулу, по которой можно будет находить следующие элементы.
Рассмотрим уравнение с цепочкой длины n:
a_1=>a_2=>....=>a_(n-1)=>a_n = result
Можно расставить в нем скобки таким образом:
(a_1=>a_2=>....=>a_(n-1))=>a_n = result
Пусть на данном этапе известно количество решений уравнений
a_1=>a_2=>....=>a_(n-1) = 0 - оно равно f(n-1,0)
a_1=>a_2=>....=>a_(n-1) = 1 - оно равно f(n-1,1)
Требуется через них выразить количество решений для цепочки длины n с результатом 0 и 1. То есть найти значения функции f(n,0) и f(n,1)
Вспомним таблицу истинности для импликации.
Выражение A=>B = 0 только в том случае, когда A=1 и B=0. В остальных трех случаях A=>B = 1.
Посчитаем значение f(n,0):
Если результат равен 0, то в цепочке длины n должно выполняться:
значение в цепочке длины n-1 равно 1, а значение a_n=0.
То есть f(n,0)=f(n-1,1).
Посчитаем значение для f(n,1):
Если результат равен 1, то в цепочке длины n должно выполняться одно из трех условий:
1) значение в цепочке длины n-1 равно 0, а значение a_n=0.
Этому соответствует количество способов f(n-1,0)
2) значение в цепочке длины n-1 равно 0, а значение a_n=1.
Этому опять же соответствует количество способов f(n-1,0)
3) значение в цепочке длины n-1 равно 1, а значение a_n=1.
Этому соответствует количество способов f(n-1,1)
Таким образом, складывая эти способы, получим количество решений для f(n,1): f(n-1)=f(n-1,0)+f(n-1,0)+f(n-1,1)=2f(n-1,0)+f(n-1,1).
Осталось только посчитать f(6,1):
f(1,0)=1
f(1,1)=1
f(2,0)=f(1,1)=1
f(2,1)=2f(1,0)+f(1,1)=3
f(3,0)=f(2,1)=3
f(3,1)=2f(2,0)+f(2,1)=5
f(4,0)=f(3,1)=5
f(4,1)=2f(3,0)+f(3,1)=11
f(5,0)=f(4,1)=11
f(5,1)=2f(4,0)+f(4,1)=21
f(6,0)=f(5,1)=21
f(6,1)=2f(5,0)+f(5,1)=43.
А вообще, можно заметить, что сумма f(n,0)+f(n,1)=2^n, поскольку это количество всевозможных комбинаций 0 и 1 для n элементов. Тогда если известно f(n,0), то f(n,1)=2^n-f(n,0). Теперь можно рассмотреть нашу последовательность:
f(1,0)=1
f(1,1)=2^1-1
f(2,0)=2^1-1
f(2,1)=2^2-(2^1-1)=2^2-2^1+1
f(3,0)=2^2-2^1+1
f(3,1)=2^3-(2^2-2^1+1)=2^3-2^2+2^1-1
....
f(n,0)=2^(n-1)-2^(n-2)+2^(n-3)-....-(-1)^n * 2^0
f(n,1)=2^n-2^(n-1)+....+(-1)^n*2^0
Каждая из формул - сумма геометрической прогрессии с первыми членами 2^(n-1) и 2^n соответственно, с количеством членов n и n+1 соответственно и со знаменателем (-1/2).
То есть f(n,0)=b1*(q^n-1)/(q-1)=2^(n-1)*((-1/2)^n-1)/(-1/2-1)=-2^n / 3 * ((-1/2)^n-1) = 2^n / 3 - 1/3 * 2^n * (-1/2)^n = 2^n / 3 - (-1)^n / 3 = (2^n - (-1)^n) / 3
f(n,1) = 2^n -  f(n,0) = 2^n - (2^n - (-1)^n) / 3 = (3*2^n - 2^n + (-1)^n) / 3 = (2^(n+1) + (-1)^n) / 3.
Подставим n=6, чтобы проверить.
f(6,0)=(2^6 - (-1)^6) / 3 = (64 - 1) / 3 = 21.
f(6,1) = (2^(6+1) + (-1)^6) / 3 = 43.
Ответ: 43.