1+tgx=√ 3 находящиеся в промежутке значений: x∈[−π;2π] 1. Сколько всего таких ко...

np27200249 @np27200249

July 2022 1 7 Report

Найди корни данного уравнения:

1−tgx/1+tgx=√ 3

находящиеся в промежутке значений: x∈[−π;2π]

1. Сколько всего таких корней :

2. Наименьший корень: x=
π

3. Наибольший корень: x=
π

Answers & Comments

nafanya2014

Verified answer

tgx не существует при cosx=0

ОДЗ:

{cosx≠0

{1+tgx≠0⇒ tgx≠-1

Перемножаем крайние и средние члены пропорции:

1-tgx=√3+√3tgx;

1-√3=(1+√3)tgx

$tgx=\frac{1-\sqrt{3} }{1+\sqrt{3} } \\ \\ x=arctg(\frac{1-\sqrt{3}) }{(1+\sqrt{3}) } +\pi k, k\in Z$

Корни, принадлежащие промежутку [-π;2π]:

$arctg(\frac{1-\sqrt{3}) }{(1+\sqrt{3}) }$

$arctg(\frac{1-\sqrt{3}) }{(1+\sqrt{3}) } +\pi$

$arctg(\frac{1-\sqrt{3}) }{(1+\sqrt{3}) } +2\pi$

Всего три.

Наименьший корень:

$arctg(\frac{1-\sqrt{3}) }{(1+\sqrt{3}) }$

Наибольший корень:

$arctg(\frac{1-\sqrt{3}) }{(1+\sqrt{3}) } +2\pi$

О т в е т верный. Но авторы задачи предполагали другое решение.

Так как

$1=tg\frac{\pi }{4}$

то

$\frac{tg\frac{\pi }{4}-tgx }{tg\frac{\pi }{4}+x }=\sqrt{3}$

По формуле тангенса разности двух углов

$tg(\frac{\pi }{4} -x)=\sqrt{3}\\ \\tg(x-\frac{\pi }{4})=- \sqrt{3}\\ \\ x-\frac{\pi }{4}=arctg(-\sqrt{3})+\pi n, n\in Z\\ \\x=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3}+\pi n, n\in Z\\ \\ x= - \frac{\pi }{12}+\pi n, n\in Z$