cosx+sin(x/2)=0, cos(x/2 +x/2)+sin(x/2)=0, 1-2(sin(x/2))^2+sin(x/2)=0,

2(sin(x/2))^2-sin(x/2)-1=0, (sin(x/2)-1)(sin(x/2)+1/2)=0, sin(x/2)=1, sin(x/2)= -1/2

1) sin(x/2)=1, x/2=π/2+2πk, x=π+4πk, k∈Z,

   наибольший отрицательный корень при k= -1, x=π-4π= -3π

2)sin(x/2)= -1/2,

 2.1) x/2= -π/6+2πk, x= -π/3+2πk, k∈Z

 2.2) x/2= -5π/6+2πk, x= -5π/3+4πk, k∈Z

  Наибольший отрицательный корень при k=0, x= -π/3 > -3π

Ответ: наибольший отрицательный корень x= -π/3