Ответ:

4 корня уравнения принадлежат отрезку [0; 3·π]

Объяснение:

Перевод и исправление : Укажите количество корней уравнения [tex]\displaystyle \tt sinx=\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex] на отрезке [0; 3·π].

Нужно знать:

[tex]\displaystyle \tt sinx=\frac{\sqrt{3} }{2} \Leftrightarrow \left [ {{x=\dfrac{\pi }{3} +2 \cdot \pi \cdot k, \; k \in Z} \atop {x=\dfrac{2 \cdot \pi }{3} +2 \cdot \pi \cdot m, \; m \in Z}} \right. .[/tex]

Решение. Каждое решение обоих семейств проверим следующим способом.

[tex]\displaystyle \tt 1) \; 0\leq \dfrac{\pi }{3} +2 \cdot \pi \cdot k \leq 3\cdot \pi , \; k \in Z \\\\0 \leq \dfrac{1}{3} +2 \cdot k \leq 3, \; k \in Z \\\\-\dfrac{1}{3} \leq 2 \cdot k \leq 3-\dfrac{1}{3}, \; k \in Z \\\\-\dfrac{1}{3} \leq 2 \cdot k \leq \dfrac{8}{3}, \; k \in Z \\\\-\dfrac{1}{6} \leq k \leq \dfrac{4}{3}, \; k \in Z \\\\k \in \{0; \; 1\}.[/tex]

[tex]\displaystyle \tt 2) \; 0\leq \dfrac{2 \cdot \pi }{3} +2 \cdot \pi \cdot m \leq 3\cdot \pi , \; m \in Z \\\\0 \leq \dfrac{2}{3} +2 \cdot m \leq 3, \; m \in Z \\\\-\dfrac{2}{3} \leq 2 \cdot m \leq 3-\dfrac{2}{3}, \; m \in Z \\\\-\dfrac{2}{3} \leq 2 \cdot m \leq \dfrac{7}{3}, \; m \in Z \\\\-\dfrac{1}{3} \leq m \leq \dfrac{7}{6}, \; m \in Z \\\\m \in \{0; \; 1\}.[/tex]

Значит, следующие корни уравнения принадлежат отрезку [0; 3·π]:

[tex]\displaystyle \tt 1) \; \dfrac{\pi }{3} ; \; 2) \;\dfrac{\pi }{3} +2 \cdot \pi = \dfrac{7 \cdot \pi }{3}; \; 3) \; \dfrac{2 \cdot \pi }{3}; \; 4) \; \dfrac{2 \cdot \pi }{3}+2 \cdot \pi= \dfrac{8 \cdot \pi }{3}.[/tex]

#SPJ1