Ответ:

Решение неравенства x ∈ { 5 }

Объяснение:

Дано неравенство:

[tex]\displaystyle \tt (10 \cdot x-x^2-24) \cdot log_5(4 \cdot sin^2\frac{\pi \cdot x}{2}+1 )\geq 1.[/tex]

Оценим множители слева по отдельности.

1) 10·x – x² – 24 = –(x² – 10·x) – 24 = –(x² – 10·x + 25 – 25) – 24 =

= –(x² – 2·5·x + 5²) + 25 – 24 = –(x – 5)² + 1 = 1 – (x – 5)² ≤ 1. Кроме того, 1 – (x – 5)² = 1 если только x = 5.

2) Так как | sinα | ≤ 1 для любого α∈R, то

[tex]\displaystyle \tt 0 \leq sin^2\frac{\pi \cdot x}{2} \leq 1,[/tex]

следовательно

[tex]\displaystyle \tt 1 \leq 4 \cdot sin^2\frac{\pi \cdot x}{2}+1 \leq 4 \cdot 1 +1 =5.[/tex]

3) Применим следующее свойство логарифмической функции:

[tex]\displaystyle \tt 0 < b\leq a \Leftrightarrow log_a b \leq 1, \;\;0 < b = a \Leftrightarrow log_a b = 1.[/tex]

И тогда

[tex]\displaystyle \tt (10 \cdot x-x^2-24) \cdot log_5(4 \cdot sin^2\frac{\pi \cdot x}{2}+1 ) \leq 1 \cdot 1 = 1,[/tex]

причём равенство достигается если

[tex]\displaystyle \tt 10 \cdot x-x^2-24=1, \\\\log_5(4 \cdot sin^2\frac{\pi \cdot x}{2}+1 ) = 1.[/tex]

Но это возможно, если

[tex]\displaystyle \tt 1-(x-5)^2=1, \\\\ sin^2\frac{\pi \cdot x}{2} = 1.[/tex]

В вервом уравнении равенство достигается, если x = 5 (единственный корень). Подставим во второе уравнение и убедимся, что при x = 5 равенство достигается:

[tex]\displaystyle \tt sin^2\frac{\pi \cdot 5}{2} = sin^2\frac{\pi + 4\cdot \pi}{2} = sin^2( \frac{\pi}{2}+2\cdot \pi )=sin^2( \frac{\pi}{2})=1^2 = 1.[/tex]

Значит, решением неравенства будет только x=5.