Verified answer

Ответ:

угол между векторами равен [tex]arccos \dfrac{\sqrt{15} }{6}.[/tex]

Объяснение:

По условию заданы точки А ( 2; -1; 4), В( 3; 1; 3) , С (2; 2; 5).

Надо найти угол между векторами    [tex]\vec{AB}[/tex]   и  [tex]\vec{AC}[/tex].

Найдем координаты векторов. Для этого надо от координат конца вектора вычесть координату начала.

[tex]\vec{AB}(1; 2;-1)[/tex]

[tex]\vec{AC}(0;3;1)[/tex]

Найдем длину вектора, как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

[tex]|\vec{AB}|= \sqrt{1^{2}+2^{2} +(-1)^{2} } =\sqrt{1+4+1} =\sqrt{6} ;[/tex]

[tex]|\vec{AC}|= \sqrt{0^{2}+3^{2} +1^{2} } =\sqrt{0+9+1} =\sqrt{10} ;[/tex]

Найдем скалярное произведение векторов как сумму произведений одноименных координат.

[tex]\vec{AB}\cdot \vec{AC}=1\cdot0+2\cdot3+(-1)\cdot 1=0+6-1=5[/tex]

Скалярное произведение векторов можно еще найти по формуле:

[tex]\vec{AB}\cdot \vec{AC}=|\vec{AB}|\cdot |\vec{AC}|\cdot cos \alpha[/tex]

α-  угол между векторами.

Отсюда

[tex]\cos \alpha =\dfrac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{|\vec{AB}|\cdot |\vec{AC}|}[/tex]

Тогда получим

[tex]\cos \alpha =\dfrac{5}{\sqrt{6} \cdot\sqrt{10} } =\dfrac{5}{\sqrt{60} } =\dfrac{5}{\sqrt{4\cdot15} } =\dfrac{5}{2\sqrt{15} } =\dfrac{5\cdot \sqrt{15} }{2\sqrt{15}\cdot \sqrt{15} } =\dfrac{5\sqrt{15} }{30} } =\dfrac{\sqrt{15} }{6} }[/tex]

[tex]\alpha =arccos \dfrac{\sqrt{15} }{6}[/tex]    - угол между векторами.

#SPJ1