на 2)  Разлагаем на множители левую часть уравнения.

Пусть u=sin(x)

. Подставим u везде вместо sin(x)

u2+5u+4

Разложим u2+5u+4на множители с помощью группировки.

Рассмотрим x2+bx+c

. Найдем пару целых чисел, произведение которых равно c, а сумма равна b. В данном случае произведение равно 4, а сумма равна 5.

1;4

Запишем разложение на множители, используя эти целые числа.

(u+1)(u+4)

Заменим все uна sin(x)

(sin(x)+1)(sin(x)+4)

Заменим левую часть на выражение, разложенное на множители.

(sin(x)+1)(sin(x)+4)=0

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен 0, то и все выражение будет равняться 0

sin(x)+1=0

sin(x)+4=0

Приравняем первый множитель к 0и решим.

Приравняем первый множитель к 0

sin(x)+1=0

Вычтем 1из обеих частей уравнения.

sin(x)=−1

Упростим выражение, чтобы найти первое решение.

Найдем обратный синус от обеих частей уравнения, чтобы извлечь x

из-под синуса.

x=arcsin(−1)

Точное значение arcsin(−1)равно −π2.

x=−π2

Функция синуса принимает отрицательные значения в третьем и четвертом квадрантах. Для определения второго решения вычитаем решение из 2π, чтобы найти угол приведения. Затем прибавляем данный угол приведения к π, чтобы найти решение в третьем квадранте.

x=2π+π2+π

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Упростим правую часть.

Для записи 2π1в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на 22.

x=2π1⋅22+π2+π

Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель 1

Скомбинируем.

x=2π⋅21⋅2+π2+π

Умножим 2на 1.

x=2π⋅22+π2+π

Скомбинируем числители с общим знаменателем.

x=2π⋅2+π2+π

Упростим числитель.

Умножим 2на 2

.

x=4π+π2+π

Складываем 4πи π.

x=5π2+π

Для записи π1в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на 22.

x=5π2+π1⋅22

Запишем каждое выражение с общим знаменателем 2, умножив на подходящий множитель 1

Скомбинируем. x=5π2+π⋅21⋅2

Умножим 2на 1.

x=5π2+π⋅22

Скомбинируем числители с общим знаменателем.

x=5π+π⋅22

Упростим числитель.

Перенесем 2в левую часть выражения π⋅2.

x=5π+2⋅π2

Умножим 2на π.

x=5π+2π2

Складываем 5π и 2π.

x=7π2

Вычтем 2πиз 7π2.

x=7π2−2π

Результирующий угол 3π2

котерминален углу 7π2, положителен, и его величина менее 2π.

x=3π2

Найдем период.

Период функции можно вычислить с помощью 2π|b|.

2π|b|

Подставим 1 вместо b в формуле для периода.

2π|1|

Решим уравнение.

Модуль - это расстояние между числом и нулем. Расстояние между 0

и 1 равно 1.

2π1

Делим 2π на 1.

2π

Прибавим 2π к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите, чтобы отобразить меньше шагов...

Прибавим 2π к −π2, чтобы найти положительный угол.

−π2+2π

Для записи 2π 1 в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на 22.

2π122−π2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем 2, умножив на подходящий множитель 1

Скомбинируем.

2π⋅21⋅2−π2

Умножим 2на 1.

2π⋅22−π2

Скомбинируем числители с общим знаменателем.

2π⋅2−π2

Упростим числитель.

Умножим 2на 2.

4π−π2

Вычтем π из 4π.

3π2

Запишем новые углы.

x=3π2

Период функции sin(x)равен 2π, то есть значения будут повторяться через каждые 2π радиан в обоих направлениях.x=3π2±2πn;3π2±2πn

Объединяем ответы.

x=3π2±2πn

Приравняем следующий множитель к 0и решим.

Приравняем следующий коэффициент к 0.sin(x)+4=0

Вычтем 4из обеих частей уравнения.

sin(x)=−4

Область значений синуса: −1≤y≤1

. Поскольку −4не попадает в этот интервал, решений нет.

Нет решения

Итоговым решением являются все значения, обращающие (sin(x)+1)(sin(x)+4)=0в верное тождество.

x=3π2±2πn

на