Verified answer

2) Записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления:

Запишем систему уравнений в матричной форме:

[tex]\[\begin{bmatrix}1 & 1 & -3 \\4 & -3 & 0 \\5 & 2 & -7 \\\end{bmatrix}[/tex]  [tex]\begin{bmatrix}x \\y \\z \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-6 \\7 \\-11 \\\end{bmatrix}[/tex]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений с помощью обратной матрицы.
Найдём обратную матрицу к матрице коэффициентов.

Матрица коэффициентов:

[tex]\[A = \begin{bmatrix}1 & 1 & -3 \\4 & -3 & 0 \\5 & 2 & -7 \\\end{bmatrix}\][/tex]

Вектор свободных членов:

[tex]\[b = \begin{bmatrix}-6 \\7 \\-11 \\\end{bmatrix}\][/tex]

Найдём обратную матрицу [tex]$A^{-1}$[/tex] с помощью формулы:

[tex]\[A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A)\][/tex]

где [tex]$\text{det}(A)$[/tex] - это определитель матрицы [tex]$A$[/tex], а [tex]$\text{adj}(A)$[/tex] - это присоединенная матрица к [tex]$A$[/tex]

Определитель матрицы [tex]$A$[/tex] можно найти как:[tex]\[\text{det}(A) = 1*(-3)*(-7) + 1*0*5 + (-3)*4*2 - 5*(-3)*1 - 2*0*1 - (-7)*4*1 = -33\][/tex]

Присоединенная матрица к [tex]$A$[/tex] вычисляется как матрица алгебраических дополнений к [tex]$A$[/tex], транспонированная:

[tex]\[\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}(-3)*(-7) - 2*0 & (1)*(-7) - 5*0 & 1*2 - 5*(-3) \\(1)*(-7) - 4*0 & (1)*(-7) - 5*1 & 1*2 - 4*(-3) \\(1)*0 - 4*2 & (1)*0 - 5*1 & 1*(-3) - 4*1 \\\end{bmatrix}^T\][/tex]

[tex]\[\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}21 & -7 & 17 \\-7 & -12 & -10 \\-8 & 0 & -7 \\\end{bmatrix}\][/tex]

Можем вычислить обратную матрицу:

[tex]\[A^{-1} = \frac{1}{-33} \cdot \text{adj}(A) = \begin{bmatrix}-21/33 & 7/33 & -17/33 \\7/33 & 12/33 & 10/33 \\8/33 & 0 & 7/33 \\\end{bmatrix}\][/tex]

Теперь, когда есть обратная матрица, можем найти решение системы уравнений как произведение обратной матрицы и вектора свободных членов:

[tex]\[\begin{bmatrix}x \\y \\z \\\end{bmatrix}= A^{-1} \cdot b = \begin{bmatrix}-21/33 & 7/33 & -17/33 \\7/33 & 12/33 & 10/33 \\8/33 & 0 & 7/33 \\\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-6 \\7 \\-11 \\\end{bmatrix}\][/tex]

[tex]\[\begin{bmatrix}x \\y \\z \\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}(-21/33)*(-6) + (7/33)*7 + (-17/33)*(-11) \\(7/33)*(-6) + (12/33)*7 + (10/33)*(-11) \\(8/33)*(-6) + 0*7 + (7/33)*(-11) \\\end{bmatrix}\][/tex]

Упростим:

[tex]\[\begin{bmatrix}x \\y \\z \\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}42/33 + 49/33 + 187/33 \\-42/33 + 84/33 - 110/33 \\-48/33 - 77/33 \\\end{bmatrix}\][/tex]

Сократим дроби:

\[tex]\begin{bmatrix}x \\y \\z \\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}278/33 \\32/33 \\-125/33 \\\end{bmatrix}[/tex]

Решение системы уравнений:

[tex]\[x = \frac{278}{33}, y = \frac{32}{33}, z = -\frac{125}{33}\][/tex]

3) Решить методом Гаусса:

1. Приведем систему к ступенчатому виду:

[tex]\[\left\{\begin{array}{l}x+y-3 z=-6 \\4 x-3 y=7 \\5 x+2 y-7 z=-11\end{array}\right.\][/tex]

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на [tex]4[/tex], и из третьего уравнения первое, умноженное на [tex]5[/tex]:

[tex]\[\left\{\begin{array}{l}x+y-3 z=-6 \\0 x-7 y+12 z=31 \\0 x-3 y+2 z=19\end{array}\right.\][/tex]

2. Теперь система имеет ступенчатый вид. Можем найти решение путем обратной подстановки. Из второго уравнения находим [tex]y[/tex]:

[tex]\[y = \frac{31 - 12z}{-7}\][/tex]

Подставляем [tex]y[/tex] в третье уравнение и находим [tex]z[/tex]:

[tex]\[0x - 3\left(\frac{31 - 12z}{-7}\right) + 2z = 19\][/tex]

Упростим уравнение:

[tex]\[\frac{93 - 36z}{7} + 2z = 19\][/tex]

Умножим всё на [tex]7[/tex], чтобы избавиться от дроби:

[tex]\[93 - 36z + 14z = 133\][/tex]

Соберём все слагаемые с [tex]z[/tex]:

[tex]\[-22z = 133 - 93\][/tex]

[tex]\[-22z = 40\][/tex]

Можем найти [tex]z[/tex], разделив обе стороны уравнения на [tex]-22[/tex]:

[tex]\[z = \frac{40}{-22} = -\frac{20}{11}\][/tex]

3. Теперь, когда мы знаем [tex]z[/tex], мы можем найти [tex]y[/tex], подставив [tex]z[/tex] в уравнение для [tex]y[/tex]:

[tex]\[y = \frac{31 - 12(-\frac{20}{11})}{-7} = -\frac{1}{3}\][/tex]

Подставим [tex]y[/tex] и [tex]z[/tex] в первое уравнение, чтобы найти [tex]x[/tex]:

[tex]\[x + (-\frac{1}{3}) - 3(-\frac{20}{11}) = -6\][/tex]

[tex]\[x = -6 - \frac{60}{11} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\][/tex]

Решение системы уравнений:

[tex]\[x = \frac{1}{3}, y = -\frac{1}{3}, z = -\frac{20}{11}\][/tex]