Для знаходження мінімуму та максимуму функції \(f(x) = \frac{2}{x-2}\) на вказаному проміжку \([3;7]\), спершу знайдемо похідну цієї функції та визначимо місця, де похідна дорівнює нулю. Ці точки будуть кандидатами на мінімум та максимум функції.

Спершу знайдемо похідну:

\[f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x-2}\right)\]

Використовуючи правило диференціювання функції \(f(x) = \frac{a}{x}\), де \(a\) - константа, ми отримаємо:

\[f'(x) = -\frac{2}{(x-2)^2}\]

Тепер розв'яжемо рівняння \(f'(x) = 0\), щоб знайти точки, де похідна дорівнює нулю:

\[-\frac{2}{(x-2)^2} = 0\]

Для цього рівняння немає розв'язків, оскільки дільник \((x-2)^2\) ніколи не може дорівнювати нулю.

Тепер перевіримо значення функції \(f(x)\) на кінцях заданого проміжку \([3;7]\) та відомих точках (які є кандидатами на мінімум та максимум).

1. При \(x = 3\), \(f(3) = \frac{2}{3-2} = 2\).

2. При \(x = 7\), \(f(7) = \frac{2}{7-2} = \frac{2}{5}\).

Таким чином, на проміжку \([3;7]\) мінімум функції рівний 2 (досягається при \(x = 3\)), а максимум функції дорівнює \(\frac{2}{5}\) (досягається при \(x = 7\)).