Доказать, что при a>0(a³+ b^6) / 2 ≥ 3ab² - 4. Created by Cali120. algebra-ru

2 ≥ 3ab²

Cali120 @Cali120

July 2022 1 18 Report

Доказать, что при a>0

(a³+ b^6) / 2 ≥ 3ab² - 4

Answers & Comments

ArtemCoolAc

Verified answer

$$ \frac{a^3+b^6}{2}\geq 3ab^2-4;$

Вспоминаем неравенство Коши

$$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

Применяем:

$$\frac{a^3+b^6}{2}\geq \sqrt{a^3b^6}=|ab|^3\sqrt{a}=a|b|^3\sqrt{a}, (a>0)$

Покажем, что правое выражение здесь не меньше правого выражения в исходном неравенстве, тогда правое выражение в исходном неравенстве тем более будет не меньше, чем левое в исходном.

Это как если надо доказать, что a>b, мы доказали, что при a>c выполняется c>b, то точно a>b (транзитивность неравенств).

Делаем это:

$a|b|^3\sqrt{a}\geq 3ab^2-4; a|b|^3\sqrt{a}-3ab^2+4\geq 0; ab^2(|b|\sqrt{a}-3)+4\geq 0$

Это неравенство аналогично неравенству $t^2(t-3)+4\geq 0; t=|b|\sqrt{a}, t>0$

Чтобы решить это неравенство, надо найти нули функции

$f(t)=t^3-3t^2+4;$ , здесь сумма коэффициентов при нечетных степенях (1) равна сумме коэффициентов при нечетных степенях (-3+4=1), значит, t=-1 - корень. Поделив уголком на t+1 или по схеме Горнера, получим разложение $t^3-3t^2+4=(t+1)(t^2-4t+4)=(t+1)(t-2)^2$

Теперь можно решать неравенство, при этом по методу интервалов, так как при t везде коэффициент равен 1, в самом правом промежутке будет "+", а в остальных случаях при переходе через нули будет чередоваться, кроме нулей четности, как здесь t=2 (2-я степень при скобке), знаки будут - + +

Тогда $(t+1)(t-2)^2\geq 0 \Rightarrow t \in[-1;2]\cup[2;+\infty) \Rightarrow t \in [-1;+\infty)$

Но мы рассматриваем только t>0, а там везде неравенство выполняется, значит, выполняется и неравенство $ab^2(|b|\sqrt{a}-3)+4\geq 0$ , то есть $$\left \{ {{a|b|^3\sqrt{a}=\sqrt{a^3b^6}\geq 3ab^2-4} \atop {\frac{a^3+b^6}{2}\geq \sqrt{a^3b^6} }} \right. \Rightarrow \frac{a^3+b^6}{2} \geq 3ab^2-4$

Что и требовалось доказать (естественно, неравенство справедливо по условию с ограничением a>0)

2 votes Thanks 2

antonovm классное решение , только в одном месте опечатка : ( t-1) *(t-2)^2

ArtemCoolAc Благодарю. Сам офигел, когда решал. Офигел от своего же решения. Возможно, можно как-то проще))

ArtemCoolAc Ещё оЧеПятка: "нулей четности" -> нулей четной кратности

nelle987 Нер-во Коши: (a^3 + b^6 + 8)/3 >= (a^3 * b^6 * 8)^(1/3) = 2 * a * b^2. Домножить на 2/3, перенести двойку в другую часть и будет то, что в условии.

Answers & Comments

Verified answer

reshit v celyh chislah uravnenie 9x 2 y1ye86b823b9fe07ad93d28b0c29dd18d47 83745

reshit v celyh chislah uravnenie 9x 2 y1y

gustina za vodnem sumishi co i co2 dorivnyue 188 obchislit masovi chastki gaziv u

gustina za vodnem sumishi co i co2 dorivnyuye 188 obchislit masovi chastki gaziv u

najti naibolshee naturalnoe chislo n takoe chto 32016 1 kratnoe 2n

dve okruzhnosti c1 c2 prohodyat cherez centr o okruzhnosti c i soprikasayutsya s nim

reshit uravnenie x2003x2002x2xx 1

s2190e689d860d8363ea00e9d49fc36394 61232

na doske napisali tryohznachnoe chislo ryadom s nim napisali chislo sostoyashee iz te

s otvet dajte v sisteme si83847dea6e6c6c2473617a3d50f6b12c 38077

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social