Відповідь: побудова, відповіді на питання.

• Задание:

Построить график функции [tex]y=x^2-4x+3.[/tex]

Найти:

1) точку пересечения графика функции с осью [tex]OY;[/tex]

2) нули функции;

3) координаты вершины параболы;

4) промежутки возрастания и убывания функции;

5) наименьшее и наибольшее значение функции;

6) промежутки знакопостоянства функции.

• Решение:

1) График функции пересечет ось [tex]OY,[/tex] когда [tex]x=0.[/tex] Подставим и посчитаем: [tex]y=0^2-4\cdot0+3=3\Rightarrow[/tex] т. [tex]A(0;3)[/tex] - точка пересечения графика функции [tex]y=x^2-4x+3[/tex] с осью [tex]OY.[/tex]

2) Чтобы найти нули функции, нужно решить соответствующее уравнение: [tex]x^2-4x+3=0.[/tex] Воспользуемся теоремой Виета: [tex]\displaystyle \left \{ {{x_1\cdot x_2=3} \atop {x_1+x_2=4}} \right. \Rightarrow \left \{ {{x_1=1}, \atop {x_2=3}} \right. .[/tex] - нули функции [tex]y=x^2-4x+3.[/tex] (P.S. это также еще и координаты точки пересечения графика функции с осью [tex]OX, \Leftrightarrow B(1;0),C(3;0)[/tex]).

3) Чтобы найти координаты вершины параболы, воспользуемся формулой: [tex]x_0=\dfrac{-b}{2a} ,[/tex] в нашем случае [tex]b=-4, a=1.[/tex] Подставим и вычислим: [tex]\displaystyle x_0=\frac{-(-4)}{2\cdot1} =2\Rightarrow y_0=2^2-4\cdot2+3=-1\Rightarrow[/tex] т. [tex]O(2;-1)[/tex] - координаты вершины параболы.

4) Построив график, найдем, что [tex][2;+\infty)[/tex] - промежуток возрастания; [tex](-\infty;2][/tex] - промежуток убывания.

5) Наименьшее значение функции: [tex]y_{min} =-1,[/tex] наибольшего значения функция не имеет.

6) Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, нужно найти такие интервалы, на которых функция принимает и положительные, и отрицательные значения: Когда [tex]y > 0,[/tex] [tex]x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty).[/tex] Когда [tex]y < 0, x\in(1;3).[/tex] - промежутки знакопостоянства функции.

Строим график. Рассуждаем. Дана парабола [tex]y=x^2-4x+3,[/tex] ветви которой направлены в верх, поскольку коэффициент [tex]a > 0.[/tex] По найденным точкам строим график функции (см. файл).