Автор решения выделил полный квадрат, считая это действие очевидным.

Поясню, что произошло: [tex]x^2+\dfrac{4}{x^2}[/tex] — это почти квадрат разности, не хватает только удвоенного произведения (формула квадрата разности: [tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex]). У нас есть [tex]a^2[/tex] — это [tex]x^2[/tex] — и [tex]b^2[/tex] — это [tex]\dfrac{4}{x^2}[/tex]. Тогда [tex]a=x,b=\dfrac{2}{x}[/tex]. Чтобы получить выражение [tex]a^2-2ab+b^2[/tex] из [tex]a^2+b^2[/tex], необходимо отнять [tex]2ab[/tex], но поскольку этого [tex]2ab[/tex] в уравнении не было, его нужно вернуть, то есть прибавить обратно. Вот и получаем, что [tex]a^2+b^2=a^2-2ab+b^2+2ab[/tex]. Первые три слагаемых в правой части как раз и представляют квадрат разности, то есть [tex]a^2+b^2=(a-b)^2+2ab[/tex]. Теперь подставляем [tex]a=x,b=\dfrac{2}{x}[/tex]: [tex]x^2+\dfrac{4}{x^2}=\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^2+2\cdot x\cdot\dfrac{2}{x}=\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^2+4[/tex].

То, что мы сделали, называется выделением полного квадрата. Так автор и получил такой переход.