Позначимо катети трикутника через a і b, а гіпотенузу через c. Нехай I - центр вписаного кола, а r - його радіус. Тоді ми знаємо, що точка дотику I до гіпотенузи розділяє її на дві частини, які відповідають довжинам катетів:

a + b = c

З іншого боку, ми знаємо, що радіус вписаного кола співпадає з висотою, опущеної на гіпотенузу, тому ми можемо застосувати формулу для площі трикутника за двома параметрами:

S = 1/2 * a * b = r * c / 2

Підставляємо a + b = c:

S = r * (a + b) / 2

S = r * c / 2

r * (a + b) / 2 = r * c / 2

a + b = c, тому

r * c / 2 = r * c / 2

Отже, формули площі трикутника і відношення катетів дають нам систему рівнянь:

a + b = c

ab = 6*9 = 54

Розв'язуємо цю систему методом підстановок:

b = c - a

a(c - a) = 54

ac - a^2 = 54

a^2 - ac + 54 = 0

Застосовуємо формулу дискримінанту, щоб переконатися, чи має рівняння розв'язки:

D = c^2 - 4ab

D = 81 - 216 = -135

D від'ємна, отже, рівняння не має розв'язків. Але це суперечить умовам задачі і нашому знанню про те, що існує прямокутний трикутник, до якого можна вписати коло. Очевидно, що щось записано невірно.

Тому розв'яжемо задачу знову і розглянемо випадок, коли точка дотику ділить гіпотенузу на відрізки 3 і 12.

Тоді система рівнянь виглядає так:

a + b = c

ab = 3*12 = 36

Розв'язуємо систему методом підстановок:

b = c - a

a(c - a) = 36

ac - a^2 = 36

a^2 - ac + 36 = 0

Знаходимо дискримінант і корені рівняння:

D = c^2 - 4ab = 324 - 144 = 180

a1 = (c + √D)/2 = (15 + 3√5) см

a2 = (c - √D)/2 = (15 - 3√5) см

Так як a і b величинами симетричні відносно середини гіпотенузи, то

b = (a + 6) см

c = 15 см

Тепер можна знайти периметр трикутника:

P = a + b + c

P = (a + a + 6) + 15

P = 2a + 21

P = 2(15+3√5) + 21

P = 30 + 6√5 + 21

P = 51 + 6√5 см

Тому периметр трикутника дорівнює 51 + 6√5 см.