Verified answer

Ответ:

Доказано, что сумма четвертых степеней равна [tex]\dfrac{1}{2}.[/tex]    

Пошаговое объяснение:

                                         a+b+c=0⇒c=-a-b;

                    a²+b²+c²=a²+b²+(-a-b)²=2a²+2b²+2ab=1⇒

  [tex](2a^2+2b^2+2ab)^2=1^2;\ 4a^4+4b^4+4a^2b^2+8a^2b^2+8a^3b+8ab^3=1;[/tex]

                            [tex]a^4+b^4+3a^2b^2+2a^3b+2ab^3=\dfrac{1}{4}.[/tex]

[tex]a^4+b^4+c^4=a^4+b^4+(-a-b)^4=a^4+b^4+a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4=[/tex]

                  [tex]=2(a^4+b^4+3a^2b^2+2a^3b+2ab^3)=2\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}.[/tex]

Мы пользовались формулами

                   [tex](x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz;[/tex]

                        [tex](x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4.[/tex]