Ответ:

Не смотря ни на кого, заплаканная девочка выбежала из комнаты. - деепричастие

Она !не  смотрела!  ни на кого и выбежала.

Несмотря на усталость, ребята ещё не ложились спать. - производный предлог

(несмотря) - !несмотря ни на что!

Писать !что делать?! – писаный портрет висел на стене (одна "н")

Писать !чем?! - писанный масляными красками портрет. (две "нн")

Нерешённая задача (слитно, у причастия нет зависимых слов) : Мне попалась нерешённая задача.

Не решённая вовремя задача (раздельно, у причастия есть зависимые слова) : не решённая вовремя задача сыграла злую шутку в моём будущем.