Ответ:

5. Площадь фигуры равна 4,5 ед².

7.    [tex]\displaystyle \bf \int\limits^{2}_{-2} {\sqrt{4-x^2} } \, dx=2\pi[/tex]

Пошаговое объяснение:

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

у = 1+x² и y = x + 3.

7. используя геометрическое содержание интеграла, вычислите:

[tex]\displaystyle \bf \int\limits^{2}_{-2} {\sqrt{4-x^2} } \, dx[/tex]

5.  у = 1 + x² и y = x + 3.

Найдем точки пересечения графиков. Для этого решим систему:

[tex]\displaystyle \left \{ {{y=1+x^2} \atop {y=x+3}} \right.[/tex]

1 + x² = x + 3

x² - x - 2 = 0

По теореме Виета:

х₁ = 2;   х₂ = -1

1) у = 1 + х²

- квадратичная функция, график парабола, ветви вверх.

Этот график получается из графика у = х² путем сдвига на одну единицу вверх.

2) у = х + 3

- линейная функция, график прямая.

• Площадь фигуры найдем по формуле:

                          [tex]\displaystyle \bf S=\int\limits^b_a {(f_2(x)-f_1(x))} \, dx[/tex]

У нас а = -1;   b = 2;   f₂(x) = x + 3;   f₁(x) = 1 + x²

[tex]\displaystyle S=\int\limits^2_{-1} {(x+3-x^2-1)} \, dx =\int\limits^2_{-1} {(-x^2+x+2)} \, dx =\\\\=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\bigg|^2_{-1}=-\frac{8}{3}+2+4-\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2\right)=\\ \\ =-\frac{8}{3}+6-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2=4\frac{1}{2}[/tex]

Площадь фигуры равна 4,5 ед².

7.   [tex]\displaystyle \bf \int\limits^{2}_{-2} {\sqrt{4-x^2} } \, dx[/tex]

• Геометрический смысл определенного интеграла - площадь криволинейной трапеции, образованной графиком подынтегральной функции, осью Ох и прямыми х = а и х = b.

Преобразуем подинтегральную функцию:

[tex]\displaystyle y=\sqrt{4-x^2}[/tex]    

Область определения функции:

4 - х² ≥ 0   ⇒   х² - 4 ≤ 0   ⇒   -2 ≤ х ≤ 2

D(y) = [-2; 2]

Возведем в квадрат обе части:

у² = 4 - х²

у² + х² = 4

- уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 2.

Так как пределы интегрирования от (-2) до 2 и у ≥ 0, то имеем половину круга.

⇒ Значение интеграла:

[tex]\displaystyle \bf \int\limits^{2}_{-2} {\sqrt{4-x^2} } \, dx=\frac{\pi R^2}{2}=\frac{\pi \cdot 4}{2} =2\pi[/tex]  (ед²)

#SPJ1