Пошаговое объяснение:

а) Рассмотрим уравнение sin(2x) - 2√3sin^2(x+3π/2) = 0:

Заметим, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x), поэтому уравнение можно переписать в следующем виде:

2sin(x)cos(x) - 2√3sin^2(x+3π/2) = 0.

После раскрытия sin^2(x+3π/2) как sin^2(x)cos^2(3π/2) получим:

2sin(x)cos(x) - 2√3sin^2(x)cos^2(3π/2) = 0.

Заметим, что cos^2(3π/2) = 0, поэтому уравнение упрощается до:

2sin(x)cos(x) - 2√3sin^2(x) * 0 = 0,

2sin(x)cos(x) = 0.

Теперь рассмотрим два случая:

1) sin(x) = 0:

Из этого следует, что x = kπ, где k - целое число.

2) cos(x) = 0:

Из этого следует, что x = (2k+1)π/2, где k - целое число.

Таким образом, решения уравнения sin(2x) - 2√3sin^2(x+3π/2) = 0 имеют вид:

x = kπ, где k - целое число,

x = (2k+1)π/2, где k - целое число.

б) Для нахождения корней уравнения на заданном промежутке [-5π/2; -π], подставим значения x и проверим, какие из них удовлетворяют уравнению sin(2x) - 2√3sin^2(x+3π/2) = 0.

Подставляя x = -5π/2, -3π/2, -2π, -π, получаем:

sin(2*(-5π/2)) - 2√3sin^2((-5π/2)+3π/2) ≠ 0,

sin(2*(-3π/2)) - 2√3sin^2((-3π/2)+3π/2) = 0,

sin(2*(-2π)) - 2√3sin^2((-2π)+3π/2) ≠ 0,

sin(2*(-π)) - 2√3sin^2((-π)+3π/2) = 0.

Таким образом, корнями уравнения на промежутке [-5π/2; -π] являются x = -3π/2 и x = -π.